两式相加，得a0＋a2＋a4＝136. (3)由(2)得(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)－(a0＋a2＋
a4) ＝a1＋a3＝－120.
(4)令x＝0得a0＝(0－1)4＝1， 得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0 ＝16－1＝15. (5)各项二项式系数的和为 C40＋C14＋C24＋C43＋C44＝24＝16.
与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关.
1．若对于任意实数 x，有 x3＝a0＋a1(x－2) ＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则 a2 的值为( ) A．3 B．6
C．9 D．12 【解析】 ∵x3＝[2＋(x－2)]3， ∴展开式中含(x－2)2 项的系数为 a2＝T2＋1＝C23×23－2＝3×2＝6.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和
_等__于___ 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 ， 即 ___C_n1_＋__C_3n_＋__C_5n_＋__…_____ ＝ C__n0＋__C__2n_＋__C_4n_＋__…_ ＝__2_n－_1_.
二项式定理中，项的系数与二项式系数有什 么区别？ 【提示】 二项式系数与项的系数是完全不同的 两个概念.二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它 只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项 的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅
所以第3项，第6项2)2x2，C150(－12)5，C180(－12)8x－2.
二项展开式的通项公式Tr＋1＝
C
r n
an－rbr(r＝0,1,2，…，n)集中体现了二项
展开式中的指数、项数、系数的变化，它
在求展开式的某些特定项(如含指定幂的
项、常数项、中间项、有理项、系数最大
【提示】 从整体看，(a＋b)n 与(b＋a)n 相同，
但具体到某一项是不同的，如第 k＋1 项 Tk＋1＝ knan－kbk，T′k＋1＝Cknbn－kak.
2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端__“__等__距__离__”__的两 个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m. (2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 __k_＜__n_＋_2_1___时，二项式系数是递增的；当 __k_＞__n_＋_2_1___时，二项式系数是递减的．
最大项的系数，应满足它不小于前一项的系数，也不小
于后一项的系数，若设第r＋1项为展开式中系数最大的 项，则应满足第r＋1项的系数大于或等于第r项及第r＋
2项的系数．
【解析】 由题意知，22n－2n＝992，
即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n
＝5.
(1)由二项式系数的性质知，(2x－
1 4
)r＝Cr8·2－r·x4－34r，
2x
令4－34r＝1，解得r＝4，
∴x的一次幂的项为T4＋1＝C48·2－4·x＝385x.
(2)令4－
3 4
r∈Z(r≤8)．则只有当r＝0,4,8
时，对应的项才为有理项，有理项分别
为：
T1＝x4，T5＝385x，T9＝2516x2.
(3)记第r项系数为tr，设第k项系数最大，
• 【答案】 C
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
9－2 k≥1k ∴k－1 1≥10－2 k
，解得3≤k≤4.
∴系数最大的项为第3项T3＝7x52和第4项T4＝7x74.
赋值法的应用
设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ a4x4. (1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)求a0＋a2＋a4； (3)求a1＋a3； (4)求a1＋a2＋a3＋a4； (5)求各项二项式系数的和．
1 x
)10的展
开式中第6项的二项式系数最大，即C
5 10
＝
252.
(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大， ∵Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·(－x1)r ＝(－1)rCr10·210－r·x10－2r， ∴CCr1r100··221100－－rr≥≥CCrr11＋－00 11··221100－ －rr＋ －11 ，
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
(n∈ N*)叫 做 二 项 式 定 理 ． 其 中
C
k n
(k
＝
0,1,2， … ， n)叫做 _二__项__式__系__数__． Tk ＋ 1＝ ____C__nk_a_n－_k_b_k______ 叫 做 二 项 展 开 式 的 通
项，它表示第__k_＋__1__项．
• 在公式中，交换a，b的顺序是否有影响？
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
出差错；
(4)在通项公式中共含有 a，b，n，r，Tr＋1 这 5 个元素，在有关二项式定理的问题中， 常常会遇到：知道这 5 个元素中的若干个 (或它们之间的关系)，求另外几个元素的问 题．这类问题一般是利用通项公式，把问
题归结为解方程(组)或不等式(组)，这里要 注意 n 为正整数，r 为非负数，且 r≤n.
的项等)及其系数以及数、式的整除等方面
有着广泛的应用．使用时要注意：
(1)通项公式表示的是第“r＋1”项，而不
是第“r”项；
(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；
(3)展开式中第r＋1项的二项式系数C
r n
与第
r＋1项的系数，在一般情况下是不相同
的，在具体求各项的系数时，一般先处理
符号，对根式和指数的运算要细心，以防
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解
决．
【自主探究】 (1)令x＝1， 得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. (2)令x＝－1得 a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256， 而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝ 16，
【解析】 (1)方法一：由(2－ 3x)100 展开式中
的常数项为 C1000·2100，得 a0＝2100. 方法二：令 x＝0，则展开式可化为 a0＝2100. (2)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－ 3)100① 令 x＝－1，
可得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ 3)100② 联立①②得
(2)令n－3 2r＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6) ＝2， ∴所求的系数为C210(－12)2＝445.
10－3 2r∈Z (3)根据通项公式，由题意0≤r≤10 .
r∈Z
令
10－2r 3
＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r
＝5－32k. ∵r∈Z，∴k应为偶数． ∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
则有tk≥tk＋1且tk≥tk－1，又tr＝C
r－1 8
·2－r＋1，
于是有
Ck8－1·2－k＋1≥C8k·2－k Ck8－1·2－k＋1≥Ck8－2·2－k＋2
，
(k－1)！8！(9－k)！×2≥k！(88！－k)！ 即(k－1)！8！(9－k)！≥(k－2)！8·！(10－k)！×2 ，
是( )
A．C76·2 B．C76·26
C．C75·22 D．C75·25 【解析】 由于n＝7，可知展开式共有8项．
∴倒数第三项即为正数第六项．
由通项公式Tr＋1＝Crn·an－r·br可得
T6＝C57·(2x)2·(x12)5＝C75·4·x2·x110
＝C57·4·x18，
∴倒数第三项的系数是C57·22.
别令x＝－1，x＝1，两等式相加或相减即 可求出结果．
2．“赋值法”是求二项展开式系数问题常 用的方法，注意取值要有利于问题的解决， 可以取一个值或几个值，也可以取几组值， 解题易出现漏项等情况，应引起注意．
1．设(2－ 3 x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a100x100，求下列各式的值： (1)a0； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋ a99)2； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|.
•第三节 二项式定理及 应用
考 纲 点 击
掌握二项式定理和二项展开式 的性质，并能用它们计算和 证明一些简单的问题.
1.运用二项式定理的通项公式 热 求指定项或与系数有关的问
点 题； 提 2.赋值法、转化与化归思想等
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝ _C_n0_a_n_＋__C_n1_a_n_－_1_b_＋__…__＋__C_kn_a_n_－_kb_k_＋__…__＋__C_n_nb_n
求展开式中系数最大项
已知( 3 x ＋x2)2n的展开式的二项 式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系 数和大992.求(2x－1x)2n的展开式中， (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．