1． 用MATLAB计算数学期望 （1）用MATLAB计算离散型随机变量的期望 通常，对取值较少的离散型随机变量，可用如下程序进行计算： 对于有无穷多个取值的随机变量，其期望的计算公式为： 可用如下程序进行计算： 例6 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种，相应的概 率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,若其产值分别为6元、5.4元、5 元、4元及0元.求产值的平均值 解 将产品产值用随机变量表示，则的分布为： 产值 6 5.4 5 4 0 概率 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04 产值的平均值为的数学期望。在MATLAB中，输入 ； ； 即产品产值的平均值为5.48. 例7 已知随机变量的分布列如下： 计算 解 在MATLAB中，输入
试比较购买这两种股票时的投资风险. 解 两公司的股票价格都是离散型随机变量.先计算甲公司股票的方 差，在MATLAB命令窗口输入 运行结果显示 类似的程序我们可得乙公司股票的方差为 相比之下，甲公司股票方差小得多，故购买甲公司股票风险较小。 例11 用MATLAB计算：例8中我国商品在国际市场上的销售量的方 差. 解 已知销售量为上均匀分布，即密度函数为 在MATLAB命令窗口输入 =()； 运行后结果显示 1/3/(b-a)*(b^3-a^3)-1/4/(b-a)^2*(b^2-a^2)^2 将其化简，在命令窗口中输入 simplify(1/3/(b-a)*(b^3-a^3)-1/4/(b-a)^2*(b^2-a^2)^2) 结果显示 1/12*a^2-1/6*b*a+1/12*b^2 即 ，这与前面的结论是一致的。 3． 常见分布的期望与方差 常见分布的期望与方差可以调用如下函数完成（表3.1） 分布类型名称 函数名称 函数调用格式 二项分布 几何分布 超几何分布 泊松分布 连续均匀分布 指数分布 正态分布 Binostat Geostat Hygestat Poisstat Unifstat Expstat Normstat [E,D]= Binostat(N,P) [E,D]= Geostat(P) [E,D]= Hygestat(M,K,N) [E,D]= Poisstat() [E,D]= Unifstat(N) [E,D]= Expstat(MU) [E,D]= Normstat(MU,SIGMA))
标准差为2年.如该设备的寿命服从正态分布，求寿命不低于9年的设备 占整批设备的比例？。 解 设随机变量为设备寿命，由题意 在MATLAB中，输入 >>clear >> p1=normcdf(9,10,2) p1 = 0. 3085 >>1-p1 ans = 0.6915
二．利用MATLAB计算随机变量的期望和方差
分布 分布 分布
Tstat Chi2stat fstat
[E,D]= Tstat(V) [E,D]= Chi2stat(V) [E,D]= fstat(V1,V2)
例12 求二项分布参数的期望方差 解 程序如下 结果显示 E= 20 D= 16 例13 求正态分布参数的期望方差 解 程序如下 结果显示 E= 6 D= 0．062 5
数学实验四（概率论） 一．用MATLAB计算随机变量的分布
1．用MATLAB计算二项分布 当随变量时，在MATLAB中用命令函数 计算某事件发生的概率为的重贝努利试验中，该事件发生的次数为的概 率。 例1 在一级品率为0.2的大批产品中，随机地抽取20个产品，求其 中有2个一级品的概率。 解 在MATLAB中，输入 >>clear >> Px=binopdf(2,20,0.2) Px = 0.1369 即所求概率为0.1369。 2．用MATLAB计算泊松分布 当随变量时，在MATLAB中用命令函数 计算服从参数为的泊松分布的随机变量取值的概率。用命令函数 计算服从参数为的泊松分布的随机变量在取值的概率。 例2 用MATLAB计算：保险公司售出某种寿险保单2500份.已知此项 寿险每单需交保费120元,当被保人一年内死亡时,其家属可以从保险公 司获得2万元的赔偿(即保额为2万元).若此类被保人一年内死亡的概率 0.002,试求: (1)保险公司的此项寿险亏损的概率; (2)保险公司从此项寿险获利不少于10万元的概率; (3)获利不少于20万元的概率. 利用泊松分布计算. (1) P(保险公司亏本)= = 在MATLAB中，输入 >> clear >> P1=poisscdf(15,5) P1 =
0． 9999 即 = P1 =0．9999 故 P(保险公司亏本)=1-0.9999=0.0001 (2) P(获利不少于10万元)= = 在MATLAB中，输入 >>P=poisscdf(10,5) P = 0.9863 即 =0.9863 （3） P(获利不少于20万元)= = 在MATLAB中，输入 >>P=poisscdf(5,5) P = 0.6160 即 = 0.6160 3．用MATLAB计算均匀分布 当随机变量时，在MATLAB中用命令函数 计算在区间服从均匀分布的随机变量的概率密度在处的值。用命令函数 计算在区间服从均匀分布的随机变量的分布函数在处的值。 例3乘客到车站候车时间，计算。 解 在MATLAB中，输入 >>p1=unifcdf(3,0,6) p1 = 0.5000 >>p2=unifcdf(1,0,6) p2= 0.1667 >>p1-p2 ans = 0. 3333
即
=0.3333 4．用MATLAB计算指数分布 当随变量时，在MATLAB中用命令函数 计算服从参数为的指数分布的随机变量的概率密度。用命令函数 计算服从参数为的指数分布的随机变量在区间取值的概率。 例4 用MATLAB计算：某元件寿命服从参数为（=）的指数分布.3 个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少? 解 由于元件寿命服从参数为（=）的指数分布， 在MATLAB中，输入 >>p=expcdf(1000,1000) p = 0． 6321 >>1-p ans = 0.3679 即 = 0.3679 再输入 >>p2=binopdf(3,3,0.3679) p2 = 0.0498 即3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为0.0498。 5。用MATLAB计算正态分布 当随变量时，在MATLAB中用命令函数 计算服从参数为的正态分布的随机变量的概率密度。用命令函数 计算服从参数为的正态分布的随机变量的分布函数在处的值。 例5 用MATLAB计算：某厂生产一种设备，其平均寿命为10年，
化简得 又已知销售量服从[20,40]上的均匀分，即 于是 在MATLAB命令窗口输入 >> >>EY=1/20*(int((4*x-y),x,20,y)+int(3*y,x,y,40)) 结果显示 1/10*y^2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y) 将其化简，输入命令 >>simplify(1/10*y^2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y)) 结果显示 -1/10*y^2-40+7*y 再对在区间上求最大值，在命令窗口输入 >> 结果显示 3.5000e+001 即当组织35吨货源时，收益最大。 (注： simplify（f）是对函数f化简；fminbnd(‘f’,a,b)是对函数 f在区间[a,b]上求极小值。要求函数的极大值时只需将‘f’变为 ‘f’) 2． 用MATLAB计算方差 计算方差的常用公式为： 若离散型随机变量有分布律或）， 其MATLAB计算程序为 若是连续型随机变量且密度函数为，则方差的MATLAB计算程序为 例10 利用MATLAB计算：设有甲、乙两种股票，今年的价格都是10 元，一年后它们的价格及其分布分别如下表： X(元) 8 12.1 15 P Y(元) P 0.4 6 0.3 0.5 8.6 0.5 0.1 23 0.2
； 2 即 值得注意的是，对案例3.15中简单随机变量，直接用公式计算即可，不 一定使用软件计算。 （2）用MATLAB计算连续型随机变量的数学期望 若是连续型随机变量，数学期望的计算公式为： 程序如下：
例8 用MATLAB计算：假定国际市场上对我国某种商品的年需求 量是一个随机变量（单位：吨），服从区间上的均匀分布，其概率密度 为： 计算我国该种商品在国际市场上年销售量的期望.. 解 在MATLAB中，输入 =() =1/2/(b-a)*(b^2-a^2) 即 = （3）用MATLAB计算随机变量函数的数学期望 若是随机变量的函数，则当为离散型随机变量且有分布律或）时， 随机变量的数学期望为： 其MATLAB计算程序为： 当为连续型随机变量且有概率密度时，随机变量的数学期望为： 其MATLAB计算程序为： 例9 利用MATLAB计算：假定国际市场每年对我国某种商品的需求 量是随机变量X（单位：吨），服从[20,40]上的均匀分布，已知该商品 每售出1吨，可获利3万美元，若销售不出去，则每吨要损失1万美元， 如何组织货源，才可使收益最大？ 解 设y为组织的货源数量，R为收益，销售量为.依题意有