第二章 应力分析
主要掌握:应力张量,应力张量的对称性,变换规律,主应力,主 方向,剪应力,应力偏张量等
第三章 连续介质运动学
4
主要掌握:物质坐标与空间坐标,物质导数,随波导数,速度张 量,速度分解定理等.
第四章 连续介质力学基本定律
三大守恒定律:质量守恒,动量守恒,能量守恒,状态方程,熵 不等式,热力学两大定律.
间位置的变化及各邻近点距离的变化;研究随时间变化 的物理量的时间变化率. 2)连续介质满足的物理基本定律
质量守恒,动量守恒,能量守恒,热力学基本定律 3)连续介质的本构方程
描述各种连续介质模型对外部作用的响应;
3
课程内容
第一章 连续介质力学中的数学模型
主要掌握:张量的概念,张量的表示方法以及张量的运算规律等
O
b
a -axb
12
(6)并矢 定义 ab ai eibj ej ai bj eiej
展开共9项， ei e j 可视为并矢的基
ai bj 为并矢的分解系数或分量
13
1.1.3 Einstein求和约定
在同一项内的一个指标的重复,将表示对该指标 在它的范围上遍历求和.
自由指标:无重复出现的指标,取值域1,2,3(三维空间中) 哑标: 重复出现一次且仅重复一次的指标为求和指标或 为哑标.
ds2 dx2 dy2 dz2 dxidxi ijdxidx j
ij jk ik
aiij a j
xi x j
xi, j
ij
19
例: Aijbj
分量形式:
Ai1b1 Ai2b2 Ai3b3
uii
u11 u22 u33
k
1 2 3
(2)连续介质的研究对象是三维连续体,
i, j, k 取值范围为1,2,3
15
(3) 同一项中重复出现的指标不能超过两次.
(a11 a22 a33 )(b11 b22 b33 ) aiibii
应写成 aiibjj
(4)同一等式中,同一文字指标在其中的一项单独出现, 则它在其他某项内重复出现,对该项也不求和.
32
若 c0
则有
xi


ji
x
'
j
xi' ij x j
矢量的坐标 变换规律.
1) 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律;
ei' i' jej ei ij' ej'
2) ij' j' j ] 正交性
αi'
j


ccooss((ee12''
27
1.3 张量
张量 是数学上或物理上所用的概念.应力,应变等 当坐标系改变时，满足特有的转换规律。
两个向量
u, v
可以写成:
ui

a
jiu
' j
a ji
表示坐标转换 的夹角的余旋
vi a jiv'j
28
当组合两个向量时，可得到
Tij
左边
uivj (akiuk' )(aljvl' ) akialjuk' vl'
ir is it ijkrst jr js jt
kr ks kt
(利用了行列式的定义)
24
令 i r 上式得:
ii ijkist ji
ki
is js ks
it jt kt
ii
js ks
jt kt
is

31 32 33
31
矢量OP在不同坐标系中的变换有:
OP O'P OO'
或 x xjej x'jej' c
用 ei 点乘上式,得 xi ji x'j ci
或用 ei' 点乘,得
xi' ij xj ci'
质点的运 动变换
c 代表坐标系平移部分. ij 代表坐标系旋转部分.
1.3.2笛卡尔坐标变换
笛卡尔坐标系
平移旋转后
ox1x2 x3
o'
x' 1
x2'
x3'
基矢量 ei , ei'
ij ei' ej cos(ei',ej )
x3
x3'
P e3' e2'
x2'
o'
e3
o e2
e1'
x2
x1'
x1 e1
11 12 13
21
22

23
第五章 本构方程
本构概念,本构方程遵循的一些理论
5
考核方法：平时作业和出勤情况占 30％； 期末考试占70％。
参考书目： 1) 冯元祯，连续介质力学导论,重庆大学出版社 2) 吕洪生等编著，连续介质力学基础，国防科技 大学出版社
6
第一章 连续介质力学的数学基础
重点掌握: 1. 张量的概念 满足坐标变换规律 运算法则 2 .证明一些恒等式 3 .梯度,散度,旋度等概念
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第三种证法:
ei e j ijk ek
ei e j ij
混合积的行列表达式有:
p1 p2 p3
pij ep (ei e j ) i1 i2 i3
j1 j2 j3
p1 p2 p3 p1 k1 s1 pp pk ps pijpks i1 i2 i3 p2 k 2 s2 ip ik is
123,231,312
ijk
-1,当 i, j, k 是1,2,3的奇排列
132,321,213
0,当 i, j, k 中有取值相同者.
1
1
3
2
3
2
偶排列
奇排列
21
矢量叉积
a b (a2b3 a3b2 )e1 (a1b2 a2b1)e3 (a3b1 a1b3)e2
用置换符号可写成

a

b

a

c
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(5)矢量的叉积
e1 e2 e3 a b a1 a2 a3
b1 b2 b3


(a2b3 a3b2 )e1 (a1b2 a2b1)e3 (a3b1 a1b3)e2
注意:
a b b a
axb

OR
TT12''11
T1'2 T2'2
T1'3 T2'3

u3' v1'
u3' v2'
u3' v3'

T3'1
T3'2
T3'3

29
换一种表示方法,有 Tij akialjTk'l
这样，得到一个量 T 具有分量 Tij
T 定义此量为（笛卡尔） 2阶张量
30
如 ai jia'j a b a1b1 a2b2 a3b3 aibi
a1 11a1' 21a2' 31a3'
aii a11 a22 a33
14
几个注意事项:
(1)求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是 一种约定的求和标记.
aibi a jbj aijbj aikbk
i j i j
几个重要式子:
Aijij Aii Ajj A11 A22 A33
ijij ii 11 22 33 3
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ijai 1 ja1 2 ja2 3 ja3 aa12
a3
j 1 j2 j3
aj
fi Tii
f1 T11 f2 T22
f3 T33
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(5) 不能改变某一项的自由标,但所有项的自由标可以 改变.
如 a ji xi bj
akixi bj akixi bk
Wrong Right
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(6) Kronecker 符号 Delta
ij
ij

1 0
7
第一章 连续介质力学的数学基础
1.1 矢量
1.1.1矢量的概念
在三维欧几里得空间内, 具有大小和方向 的有向 线段.
矢量的表示
粗体字或字母上箭头
矢量相等
大小和方向相同
单位矢量
大小为1
零矢量
大小为0
8
图形表示
矢量 a (a1, a2 , a3)
分量: ai
x1
用三个有序数组表示
矢量大小
x3 a
a
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1.2 恒等式 ijkist js kt jt ks
第一种证明:
11 12 13 1 0 0
1r 1s 1t
I 21 22 23 0 1 0 1 rst I 2r 2s 2t rst
31 32 33 0 0 1
3r 3s 3t
(a c)b (a b)c aibkcsisek aibkcsikes aibkcs (is jk ik js )ej
将上两式代入,移项,得
aibk cs[pijpks (ik js is jk )]ej 0
由 ai ,bk , cs 的任意性,可证明 pijpks ik js is jk
25
第二种方法: