高三数学一轮复习 直线与圆的方程系列之
直线的综合应用-7
教学目标
1、掌握直线方程的四种形式，直线的方向向量和法向量；
2、掌握直线的倾斜角和斜率
3、掌握两直线的位置关系及其判断方法，两直线夹角公式
4、掌握点到直线的距离公式，两平行直线的距离公式，
知识梳理
直线方程的几种形式
⎧⎧⎪⎪⎨⎪
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎧⎪⎨--⎪⎩⎨⎧⎪
⎪⎪⎨⎪
⎪--⎪⎩
⎪
⎧⎪
⎨⎪
⎩⎩
点方向式方程直线的方程点法向式方程一般式方程直线的倾斜角（定义、取值范围、与斜率的关系）直线的倾斜角和斜率直线的斜率直线的点斜式方程
坐标平面上的直线平行两直线的位置关系重合
相交两直线的夹角点到直线的距离公式点到直线的距离两平行线间的距离
典例精讲
例1.（★★★★）求过12320l x y -+=：
与23420l x y --=：的交点且与直线440x y +-=平行的直线
方程。

【答案】：设过1l 与2l 交点的直线方程为
()()(*)2323420
x y x y -++--=λ
即(23)(34)220x y λλλ++--+-= 因为所求直线与440x y +-=平行
所以
233441λλ+--=
，解得14
19λ=- 将14
19
λ=-代入(*)，得
所求直线方程为4660x y +-=
【批注】：一般情况下，过直线1110a x b y c ++=和2220a x b y c ++=的所有直线可以用以下形式表示：
111222()(0)0a x b y c a x b y c λ+++++==（不包括2220a x b y c ++=）
例2.（★★★★）当a 为何值时，三条直线()23a x y -+=，()31210a x y -+=，()4531a x y --=相交于一点；
【答案】：解法一：()23a x y -+=与()31210a x y -+=的交点是411(
,)11
a
a a -++ 代入()4531a x y --=，解得3a =
解法二：考虑三条直线的系数行列式2
13
33
2
100453
1
a D a a --=--=---，解得3a = 【批注】：一般情况下，三条直线1110a x
b y
c ++=、2220a x b y c ++=及3330a x b y c ++=
考虑1
112
223
3
3
a b c D a b c a b c =
（1）若0D ≠，则三条直线有三个不同的交点
（2）若0D =，则三条直线要么交于一点，要么其中至少两条互相平行或重合
例3.（★★★★）已知直线1:350l x y +-=，2:360l kx y --=，当k = 时，12,l l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆.
【答案】：如图，四边形AOBM 是圆内接四边形，
则其内对角和为180︒
又90AOB ∠=︒，所以90AMB ∠=︒ 两直线互相垂直，求得1k =
【批注】：圆内接四边形对角和180︒
例4.（★★★★）已知过点()1,1A 且斜率为()0m m ->的直线l 与,x y 轴分别交于,P Q ，过,P Q 作直线
20x y +=的垂线，垂足为,R S ，求四边形PRSQ
【答案】：解法一：设l 的方程为()11y m x -=--，
x
则11,0P m ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，()0,1Q m +， 从而可得直线PR 和QS 的方程为1
20m x y m
+--
=和()2210x y m -++=， 又因为PR QS //
，所以132m RS ++
=
，又2
2PR QS +
==， 四边形PRSQ
为梯形，2123212prsq
m S ⎡⎤+++⎢⎥=+⎣⎦
2
2
1191191
2 3.654805480
m m ⎛⎫⎛⎫=++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以四边形PRSQ 的面积最小值为3.6 解法二：设直线PQ 的方程
1x y
a b
+=， 因为直线PQ 过点()1,1A ，所以11
1a b
+=
且OP a =，OQ b = 由于直线RS 的斜率是2-
所以OR PR ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，和OS QS ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
所以22111
()(225)2210
PRSQ S PR QS RS a b ab =
+⋅=⋅=++ 11
1a b
+=Q
，a b ab ∴+=
，且1114ab a b =+≥⇒≥Q 2221118
(225)[2()]10105
PRSQ S a b ab ab ab ∴=
++=+≥ 课堂检测
1.（★★★★）求过110l x y -+=：与230l x y +-=：的交点且与直线340x y --=垂直的直线方程。

【答案】：设过1l 与2l 交点的直线方程为
(1)(3)0(*)x y x y λ-+++-=
即(1)(1)310x y λλλ++--+= 因为所求直线与340x y --=垂直 所以(1)3(1)0λλ+--=，解得2λ= 将2λ=代入(*)，得
所求直线方程为350x y +-=
2.（★★★★）直线1:10l ax y ++=、2:10l x ay -+=和3:210l x y ++=交于一点，求a 的值
【答案】：考虑11
1
10121
a
D a =-=，解得1a =或者2a =-
当2a =-时，2l 与3l 重合，舍去；当1a =时符合题意 所以1a =
3.（★★★★）已知直线1:2240l ax y a --+=，22
2:2240l x a y a +--=，其中02a <<，
当1l 、2l 与两坐标轴围成一个四边形，且该四边形的面积最小时，求1l 和2l 的方程； 【答案】：1:460l x y -+=，2:8180l x y +-=。