第二章被控对象的数学模型第二章被控对象的数学模型1(什么是被控对象特性?什么是被控对象的数学模型?研究被控对象特性有什么重要意义?答:被控对象持性是指被控对象输入与输出之间的关系。

即当被控对象的输入量发生变化时，对象的输出且是如何变化、变化的快慢程度以及最终变化的数值等。

对象的输入量有控制作用和扰动作用，输出量是被控变量。

因此，讨论对象特性就要分别讨论控制作用通过控制通道对被控变量的影响，和扰动作用通过扰动通道对被控变量的影响。

定量地表达对象输入输出关系的数学表达式、称为该对象的数学模型。

在生产过程中，存在着各种各样的被控对象。

这些对象的持性各不相同。

有的较易操作，工艺变量能够控制得比较平稳，有的却很难操作，工艺变量容易产生大幅度波动，只要稍不谨慎就会越出工艺允许的范围，轻则影响生产，重则造成事故。

只有充分了解和熟悉对象特性，才能使工艺生产在最佳状态下运行。

因此，在控制系统设计时、首先必须充分了解被控对象的特性，掌握它们的内在规律，才能选择合适的被控变量、操纵变量，合适的测量元件和控制器(选择合理的控制器参数，设计合乎工艺要求的控制系统。

特别在设计新型的控制系统时。

例如前馈控制、解偶控制、自适应控制、计算机最优控制等，更需要考虑被控对象特性。

2(简述建立对象的数学模型的两种主要方法。

答:一是机理分析法。

机理分析法是通过对对象内部运动机理的分析，根据对象中物理或化学变化的规律(比如三大守恒定律等)、在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后推导出的对象特性方程。

通过这种方法得到的数学模型称之为机理模型，它们的表现形式往往是微分方程或代数方程。

二是实验测取法。

实验测取法是在所要研究的对象上，人为施加一定的输入作用，然后，用仪器测取并记录表征对象特性的物理量随时间变化的规律，即得到一系列实验数据或实验曲线。

然后对这些数据或曲线进行必要的数据处理，求取对象的特性参数，进而得到对象的数学模型。

3(描述简单对象特性的参数有哪些?各有何物理意义?答:描述对象特性的参数分别是放大系数K、时间常数T、滞后时间τ。

放大系数K放大系数K在数值上等于对象处于稳定状态时输出的变化量与输入的变化量之比，即:K= 输出的变化量/输入的变化量，由于放大系数K反映的是对象处于稳定状态下的输出和输入之间的关系，所以放大系数是描述对象静态特性的参数。

时间常数是指当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变比，达到新的稳态值所需的时间。

或当对象受到阶跃输入作用后，被控变量达到新的稳态值的63.2%所需时间。

时间常数T是反映被控变量变化快慢的参数，因此它是对象的一个重要的动态参数。

滞后时间τ是纯滞后时间τ和容量滞后τc的总和。

0输出变量的变化落后于输入变量变化的时间称为纯滞后时间，纯滞后的产生一般是由于介质的输送或热的传递需要一段时间引起的。

容量滞后一般是因为物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的。

滞后时间τ 也是反映对象动态持性的重要参数。

4.什么是控制通道和扰动通道(干扰通道)?对于不同的通道,对象的特性参数(K、T、τ)对控制有什么不同的影响?答:对于一个被控对象来说，输入量是扰动量和操纵变量，而输出是被控变量。

由对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道。

操纵变量至被控变量的信号联系称为控制通道;扰动量至被控变量的信号联系称为扰动通道。

一般来说，对于不同的通道，对象的特性参数(K、T、τ)对控制作用的影响是不同的。

对于控制通道:放大系数 K 大，操纵变量的变化对被控变量的影响就大，即控制作用对扰动的补偿能力强，余差也小;放大系数 K 小，控制作用的影响不显著，被控变量的变化缓慢。

但 K 太大，会使控制作对被控变量的影响过强，使系统的稳定性下降。

在相同的控制作用下，时间常数T大，则被控变量的变化比较缓慢，此时对象比较平稳，容易进行控制，但过渡过程时间较长;若时间常数 T 小，则被控变量变化速度快，不易控制。

时间常数太大或大小、在控制上都将存在一定困难，因此，需根据实际情况适中考虑。

滞后时间τ的存在，使得控制作用总是落后于被控变量的变化，造成被控变量的最大偏差增大，控制质量下降。

因此，应尽量减小滞后时间τ。

对于扰动通道:放大系数K大对控制不利，因为，当扰动频繁出现且幅度较大时，被控变量的波动就会很大，使得最大偏差增大;而放大系数K小，既使扰动较大，对被控变量仍然不会产生多大影响。

时间常数 T 大，扰动作用比较平缓，被控变量变化较乎稳，对象较易控制。

纯滞后的存在，相当于将扰动推迟τo时间才进入系统，并不影响控制系统的品质。

而容量滞后的存在，则将使阶跃扰动的影响趋于缓和，被控变量的变化相应也缓和些，因此，对系统是有利的。

5.实验测取对象特性常用的方法有哪些?各自有什么特点?答:实验测取对象待性常用的方法有阶跃响应曲线法、矩形脉冲法。

阶跃响应曲线法是当对象处于稳定状态时，在对象的输入端施加一个幅值已知的阶跃扰动，然后测量和记录输出变量的数值，就可以画出输出变量随时间变化的曲线。

根据这一响应曲线，再经过一定的处理，就可以得到描述对象特性的几个参数。

阶跃响应曲线法是一种比较简单的方法。

如果输入量是流量，只需将阀门的开度作突然的改变，便可认为施加了一个阶跃扰动，同时还可以利用原设备上的仪表把输出量的变化记录下来(既不需要增加仪器设备，测试工作量也不大。

但由于一般的被控对象较为复杂，扰动因素较多，因此(在测试过程中，不可避免地会受到许多其他扰动因素的影响而使测试精度不高。

为了提高精度就必须加大输入量的幅度，这往往又是工艺上不允许的。

因此，阶跃响应曲线法是一种简易但精度不高的对象持性测定方法。

短形脉冲法是当对象处于稳定状态时，在时间t突然加一幅度为A的阶跃0 扰动，到t时突然除去，这时测得输出变量随时间变化的曲线，称为矩形脉冲1持性曲线。

矩形脉冲信号可以视为两个方向相反、幅值相等、相位为t-t的阶10跃信号的叠加。

可根据矩形脉冲特性曲线，用叠加法作图求出完整的阶跃响应曲线，然后就可以按照阶跃响应曲线法进行数据处理，最后得到对象的数学模型。

采用矩形脉冲法求取对象特性，由于加在对象上的扰动经过一段时间后即被除去，因此，扰动的幅值可以取得较大，提高了实验的精度。

同时，对象的输出又不会长时间偏离设定值，因而对正常工艺生产影响较小。

6.图2-1所示RC电路，设输入变量为V，输出变量为Vo，试列写出该对象i输出与输入变量之间的微分方程。

解:对象的输出变量为Vo，输入变量为V。

i根据基尔霍夫定律可得:V=iR+Vo(1) i中间变量为I，因为:I=C(dVo/dt)(2)消除中间变量,将(2)式代入(1)得:RC(dVo/dT)+Vo=V(3) i(3)式即为RC电路的微分方程。

7.图2-2所示为一直接蒸汽加热器。

其作用是将温度为T的冷流体用蒸汽c进行直接加热，获得温度为T的热流体。

图中冷流体的流量为G，蒸汽流量为acW,试建立热流体温度T与冷流体T及蒸汽流量W的微分方程(设加热器热量很oac 小，忽略不计)解:由能量守恨定律得:Q+Q-Q=dU/dt (1) csa式中 Q:单位时间冷空气带入的热量; cQ:单位时间蒸汽带入的热量; sQ:单位时间热流体带入的热量; aU:加热器中积聚的热量。

中间变量 U=VρT (2) ca式中 V:加热器的有效体积;ρ:流体的密度 cdU/dt=Vρ( dTa/dt ) (3) cQ=GcT(4) ccc 式中 c:液体比热容。

Q=WH (5) s式中 H:蒸汽热焓。

Q=GcT (6) aaa式中 Ga :热流体流量。

将(3)、(4)、(5)、(6)式代入(1)式得:Vρ(dTa/dt)+GcT=GcT+HW (7) caacc(7)式即为热流体温度T与冷流体温度T及蒸汽流量W的微分方程。

ac8.图2-3所示是一工业用带有保护套管的热电阻。

将其插入温度为T的被测介质中，忽略套管向外的散热，设套管极其内部的温度为T，热电阻温度为aT。

试建立带保护套管的热电阻的数学模型。

r解:由热电阻测温原理可知，电阻R的阻值随温度的变化而变化。

根据能量守恨定律，有:McdT=αF(T-T)-αF(T-T) (1) 11a11a22arMcdT/d=αF(T-T) (222rt22ar)式中 M:套管质量; 1M:热电阻质量; 2C:热电阻比热容; 1α:介质对套管的导热系数: 1α:套管对热电阻的导热系数; 2F:套管的表面积; 1F:热电阻的表面积。

2令R=1/αF;R=1/αF 111222C=Mc，C=Mc 11122222 (1)、(2)式联立，有RRCC(dT/dt)+(RC+RC+RC)dT/dt+T=T (3) 1212r112212rr(3)式即为套管热电阻的数学模型。

9(图2-1所示RC电路，若以知R=5，C=2。

(1)试绘出V突然由0阶跃到5V，V的变化曲线。

io(2)计算出t=T，t=2T，t=3T。

解:由题意得，描述RC电路特性的方程为:R(dV/dT)+V=V cooi-t/RC 方程的解为:V =V(1-e) oi由方程的解得出如下数据:t=0 ，V=0 ot=2 ，V=0.9 ot=5 ，V=1.96 ot=10 ，V=3.16 ot=15 ，V=3.88 ot=20, V=4.32 ot= ?，V=5 o据此，可有如下曲线:(2) t=T时，V=0.632V oit=2T时，V=0.865V oit=3T时，V=0.95V。

oi10.为了测定某物料干燥筒的对象特征，在to时刻突然将加热蒸汽量从3325m/h增加到28m/h，物料出口温度记录仪得到的阶跃响应曲线如图2-4所示。

试写出描述干燥筒特性的微分方程(温度变化量作为输出变量，加热蒸汽量的变化量作为输入变量;温度测量仪表的测量范围0--200?;流量测量仪表的测量3范围0--40m/h)。

解:由阶跃响应曲线可知;放大系数:K=,(150-120)/200,/,(28-25)/40,=2时间常数:T=4滞后时间:τ=2所以，物料干燥特性的微分方程为:dT(t+2)/dt+T(t+2)=2θ(t) 式中 T:物料干燥筒温度变化量; θ:加热蒸汽流量变化量。