第一章复习题解答1.某科技馆在某一星期里(7天)曾接待过3位专家来访•求这3位专家在同一天来访的概率•C 1解：A = “三位专家同一天来访”，则P(A) C 7 0.0204 。
732•设A,B 是两随机事件，且 P(A B) 0.3 ,(1 )若A,B 互不相容，求 P(A)； (2) 若 A,B 独立，P(B) 0.1,求 P(A)； (3) 若 P(B | A) 0.4，求 P(A)； (4) 若 P(A B) 0.7，求 P(B).解：(1)P(A B) P(A) P(AB)因为A 、B 互不相容，所以 P(AB) 0，P(A) P(A B) 0.3(2)因为 A, B 独立，所以 P(AB) P(A)P(B).0.3 P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)所以，P(A)3•设某地区成年居民中肥胖者占 10%,不胖不瘦者占82%,瘦者占8%,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%,瘦者患高血压病的概率为 5%.(1) 求该地区居民患高血压病的概率；P(A) P(A) 0.1 0.9P(A)(3) 0.4 P(B| A)P(AB) P(A B) P(A) P(A) P(A)P(A B) 0.403 0.75 0.4(4) 0.7 P(A B) P(B) P(AB) P(B) P(A B)P(B) 0.7 P(A B)0.7 0.3 0.4(2)现知该地区某一成年居民患有高血压病，求其是肥胖者的概率解：(1 )设A , A2, A3分别表示该地区居民为肥胖者、不胖不瘦者、瘦者，B表示该地区居民患高血压病•据全概率公式知：P(B) P(B|A)P(A) P(B|")P(A) P(B|A3)P(A3)0.2 0.1 0.1 0.82 0.05 0.08 0.106(2)据贝叶斯公式知：P(A|B) P(AB)/P(B) [P(B| A)P(AJ]/P(B) [0.2 0.1]/0.106 10/53第二章复习题解答x , 1 x 01.随机变量X〜f (x) As in x , 0 x20 ,其他求：(1)A (2) X 的分布函数F(x) (3)P(0 X -)0 - 解：(1)1-1(-x)dx 021Asin xdx，求得A .2⑵X 的分布函数F(x)解：当x 1时, F(x) P(X x) x f (t)dt 0当1 x 0时, F(x) P(X x) x f (t)dt x1(t)dt 1x22 2当0 F(x) P(X x) x 0 t)dt x sint . , cosxx 时，2f(t)dt 1( dt 1 -0 2 2x 0 /2sint ‘当_2 x 时，F(x) P(X x) f(t)dt 1( t)dt 0 dt 127x 11 x2— -------- 1 x 02 2因此：F(x)1cosx ,0 x __2 2(3) P(0 X -) F( —) F(0) 1-4 42 422.某地考生高考总成绩 X 〜N(400,100 ),现在要从20000名考生中择优录取 1000 人.当地考生若能被录取其成绩至少为多少分 ((1.64) 0.95)。
解：设当地考生若能被录取其成绩至少为1000 2 P(X a)，由于 X 〜N(400,1002),则20000 P(X a) 1 P(X a) 1(a 400) -1000， (-a 400) 0.95100 20000 100又因为(1.64)0.95，所以 a 4001.64，a 564.1003.在某公共汽车站甲、 乙、丙三人分别独立的等 1, 2，3路汽车。
设每个人等车时间 X (单位：分钟)均服从［0,5］上的均匀分布。
求三人中至少有两人等车时间不超过两分钟的概率。
解：设Y 表示甲、乙、丙三人中等车时间不超过2分钟的人数，则 Y 〜B(3, p).其中p 表所求概率解：随机变量Y 的分布函数0时，F Y W) 0X ，Y 的联合概率分布如下表1.已知随机变量a 分，则示每个人等车时间不超过2分钟的概率，则P P{ X 2}21dx 0.4 05P{Y 2} c ； 0.420.6 C ； 0.430.3524.随机变量 X 〜N(0,1) ，Y e，求随机变量 Y 的概率密度函数f Y (y).0时，F Y (y) P{Yy} P{e Xy} P(X In y)In y12 eTdx对上两式两端对 y 求导，可得f Y (y)(ln y)221 y 、2 e第3章 复习题解答-11(1)写出X与Y的边缘概率分布•(2)X,Y是否相互独立为什么⑶写出XY, X Y的分布解：(1) X与Y的边缘概率分布为:(2)不相互独立•因为P(X 1，Y 0) 0.04, P(X 1)P(Y 0) 0.51 0.09 0.0459 所以，P(X 1，Y 0) P(X 1)P(Y 0)根据随机变量的独立的定义• X ,Y不独立.(3) X Y的分布为:(1 )求X与Y的边缘密度f X(x)及f Y(y)(2)判断X与Y是否相互独立，为什么解：(1 )求X与Y的边缘密度f x(x)及f y(y)因此f Y (y) 3e 3y(1)写出随机变量x 的密度函数f x (x)与丫的密度函数f,y)(2)写出随机向量 x,Y 的联合密度函数 f(x,y)； ⑶ P x 1,Y5(2 )由x 、Y 独立，(X,Y)的联合概率密度为0 ,其他(1)求 (X,Y)的联合分布列; (2)说明X,Y 是否相互独立x 0时, f x (X) f (x, y)dy 0dy 0 x 0时,f x (X)f(x, y)dy6e(2x3y)dy 2e 2x因此f x (X)2x2ey 0时,f y (y)f (x, y)dx 0dxy 0时,f v (y)f(x,y)dy6e(2x 3y) 3ydx 3e(2)因为 f x (x) f Y (y)f(x,y)，因此 X 与丫相互独立.3.设随机变量X 服从［1 , 2］上的均匀分布, 丫服从N(5,4)，且X 与Y 相互独立。
解：(1) f x (x)1, 1 x 20,其他’f Y(y)1(y 5)2182苜° f (x, y) f x (x) J(y)1 2、2一° (y-5) 2(3)P(X 1,Y 5) P(X 4.设随机变量Z~U[ 2,2],随机变量5 5、、1 11)P(Y 5) 1 [1(2 )] 1 2 20, Z10, Z 1X丫1, Z 1，1, Z 1P(X 0, Y 0) P(Z 1, Z 1) P(Z 1) 1P(X 0, Y 1) P(Z 1, Z 1) P() 0P(X 1, Y 0) P(Z 1, Z 1) P( 1 Z 1) 1P(X1, Y1) P(Z1, Z1) P(Z1) 1(2) P(X 0,Y 0) 0.25 3/16 P(X O)P(Y 0)，所以不独立；0若Y k5•假设随机变量Y 服从参数为 1的指数分布，令随机变量X k卄1若丫 k(k 1,2)。
求X 1和X 2的联合概率分布 解：P(X 1 0, X 20) P(Y 1, Y 2) P(Y1)e y dy 1 e 1P(X 1 0, X 2 1) P(Y 1, Y 2) 0P(X 11, X 2 0) P(Y 1, Y 2) P(1 Y2y 1 22)1e dy e eP(X 11, X 21) P(Y 1, Y2) P(Y 2) y.22e dy e第四章复习题解答1.随机向量(X,Y)的联合分布如下表所示，求：(1)关于X、Y的边缘分布(2)D(2X Y).(1)关于X、Y的边缘分布(2)因为2X Y的概率分布为:E(2X Y) 1 0.1 2 0.2 3 0.4 4 0.2 5 0.1 3.E(2X Y)2 1 0.1 4 0.2 9 0.4 16 0.2 25 0.1 10.2D(2X Y)= :E(2X Y)2 2(E(2X Y))==.2.某餐厅每天接待400 名顾客，每位顾客的消费额(单位:元) 是一个随机变量：期望值是60元、标准差是25元，且顾客的消费额是相互独立的。
利用中心极限定理计算该餐厅每天的营业额不少于23000元的概率.解：设该餐厅每天的营业额为X元，一天接待400名顾客中第i名顾客的消费额为X j元,400则EX i 60 元，DX i 25元(i 1,2,...,400 )且X X ii 1因此有EX 400 EX i 400 60 24000 元，DX ,400DX i 20 25 500元X E(X) 23000 EX r X E(X) cP(X 23000) PDX i DX PDX⑵0.97723•某电路中有10000盏灯，晚上每盏灯开着的概率为，且各灯开、关相互独立，用中心极限定理求晚上开着的灯的数目在4900至5100之间的概率.解：设晚上开着的灯的数目为X ，则X ~ B(10000,0.5)且EX 5000, DX 2500.因此,X E(X).DX(2)( 2) 2 (2) 1 0.95464900至5100之间的概率约为。
P(4900 X 5100)4900 EXX E(X) 5100 EXDX一 DXDX即晚上开着的灯的数目在。