学号：0907410028本科毕业论文（设计）( 2013届)指数函数的多项式展开及其应用院系数学系专业数学与应用数学姓名许月指导教师齐继兵职称讲师等级摘要指数函数是基本的初等函数，它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究，首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念，给出了泰勒公式的一种证明，利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像，并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程，求解极限，近似估值以及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些问题中的技巧和方法，有助于进一步深入理解指数函数及其多项式展开在解决实际问题中的重要作用.关键词：指数函数初等函数多项式泰勒展开装订线ABSTRACTExponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of propertiesand its application form of polynomial approximation. This paper will mainly focus on theexponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion ofexponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponentialfunction with different images of the polynomial approximation function, and the error analysisand comparison. Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept oftwo multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponentialfunction in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation aswell as the application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the useof exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solvingsome problems, will help to further understand exponential and polynomial expansion’simportant role in solving practical problems[10].Key words:exponential function elementary function polynomial Taylor expansion装订线目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1引言 (1)2指数函数的多项式展开 (1)2.1函数多项式展开的概念 (1)2.2泰勒展开式的证明 (1)2.3指数函数多项式逼近图 (2)2.4自然指数函数展开式的多重分割法 (6)3指数函数多项式展开的应用 (8)3.1应用指数函数展开法求解非线性发展方程 (8)3.2利用指数函数展开法求极限 (11)3.3利用指数函数展开式进行近似计算 (12)3.4利用泰勒公式证明不等式 (13)4结束语 (14)参考文献 (14)1 引言指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位，且在数学的各门学科中都有着广泛的运用.关于多项式的定义，在1981年12月第一版统编六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册中说“一个多项式的元和系数都在实数集上取值时，这个多项式就叫做实数集R 上的多项式”，这个说法前一句讲的是多项式函数，而后一句却有问题，1983年11月第一版统编6年制重点中学高中数学课本《代数》第三册把这段话删去了，改为“以x 为元的一元n 次多项式的一般形式可以写成1110n n n n a x a x a x a --++++这里n 是确定的自然数，0n a ≠”[1].2 指数函数的多项式展开多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆.2.1 函数多项式展开的概念定义[2] 指数函数的多项式展开即泰勒展开，对于一般的函数()f x ，假设它在一点0x 存在直到n 阶的导数，且多项式()n T x 由这些导数构成，即()()()()()()()()()'''200000001!2!!n nn f x f x f x T x f x x x x x x x n =+-+-++-该式称为函数()f x 在该点处的泰勒公式. 指数函数在点0x 处的泰勒展开式为()()()()()()()()()()()()'''2000000002!!n nnxn f x f x a f x f x f x x x x x x x T x o x x n ==+-+-++-+=+-这里()()0no x x -称为佩亚诺型余项.2.2 泰勒展开式的证明泰勒公式的证明方法有许多种，本文利用最基本的方法给出泰勒公式的证明.定理[2] 若函数()x f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()()nn x x o x T x f 0-+=，即()()()()()()()()()()()'''2000000002!!n nnf x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+- 装 订 线证明:不妨设()()()n n R x f x T x =-，()()0nn Q x x x =- 则只要证明()()0lim 0n x x nR x Q x →= 又知()()()()()'''00000n n n n n R x R x R x R x =====且()()()()()1'''00000n n n n n Q x Q x Q x Q x -=====，()()0!n nQ x n =因为()()0n f x 存在，所以在点0x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数()()1n f x -.于是，当().0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次，得到()()()()()()()()()()()()()()()()()0000111'000'10lim lim lim lim 12n n n n n n n n x x x x x x x x n nnR x R x R x f x f x f x x x Q x Q x n n x x Q x ----→→→→---====--()()()()()()0110001lim 0!n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2.3 指数函数多项式逼近图2.3.1 指数函数x y e =的多项式逼近根据2.1可以写出指数函数x y e =的泰勒展开式为2312!3!!n x x x yxn ，现在我们利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数xy e =与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时得到的不同的指数函数多项式逼近函数的图像.这里为了更加清晰明了的做出误差比较与分析，则会做出三张图片，分别为指数函数x y e =与3n时得到的多项式逼近函数2312!3!x x y x =+++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函数xy e =与4n时得到的多项式逼近函数23412!3!4!x x x y x =++++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函数xy e =与5n时得到的逼近函数234512!3!4!5!x x x x y x =+++++在同一坐标系下的函数图像比较，最后将根据图象分析指数函数与其逼近函数之间的关系并做出误差分析，得出结论[3].【例1】利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数xy e =、2312!3!x x y x =+++、23412!3!4!x x x y x =++++、234512!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像并做比较.解：a 、xy e =与2312!3!x x y x =+++图像的比较b 、xy e =与23412!3!4!x x x y x =++++图像的比较x ye23412!3!4!x x x y x =++++x ye2312!3!x x y x =+++c 、xy e =与234512!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像比较根据上述例题我们可以看出原指数函数x y e =与其不同程度的多项式逼近函数均有着某种程度的逼近，且当n 的取值不同时原指数函数与其多项式逼近函数的逼近程度也不同.对比图像我们可以看出在指数函数的泰勒展开式中随着n 取值的增大，原指数函数与其逼近函数的图像越接近误差越小. 2.3.2 指数函数x y e -=的多项式逼近同样根据 2.1的多项式展开概念，可得出指数函数x y e -=的泰勒展开式为23112!3!!n nx x x yxn .依旧利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数x y e -=与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时的多项式逼近函数的函数图.同理为了更加清晰的比较不同指数函数与它们各自的多项式逼近函数的逼近趋势是否一致，仍旧作出三张图片，分别为指数函数x y e -=与3n 时的多项式逼近函数231112!3!y x x x =-+-在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与4n时的多项式逼近函数23411112!3!4!y x x x x =-+-+在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与5n 时的多项式逼近函数2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-在同一坐标系下的函数图像，做出图像并分析图像，得出结论[3]. 234512!3!4!5!x x x x y x =+++++x ye【例2】 利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数x y e -=、231112!3!y x x x =-+- 23411112!3!4!y x x x x =-+-+、2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-的图像并做比较. 解：a 、x y e -=与231112!3!y x x x =-+-的图像比较b 、x y e -=与23411112!3!4!y x x x x =-+-+的图像比较c 、x y e -=与2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-的图像比较xy e -=xy e -=23411112!3!4!y x x x x =-+-+231112!3!y x x x =-+-由例题的三张图片，三个不同程度的同一指数函数的泰勒展开式的函数图像分别与原指数函数的图像比较我们可以看出原指数函数与其多项式逼近函数也有着某种程度的逼近，而且同样的随着在泰勒展开式中n 取值的不同逼近程度也不同，随着n 取值的增大，原指数函数与其逼近函数图像越接近，即误差越小.由2.3.1与2.3.2中的两个例题我们可以看出原指数函数与其不同程度的多项式逼近函数有着某种程度的逼近，且随着泰勒展开式中n 取值的增大，原函数与其对应的多项式逼近函数图像越接近，即两个函数在同一点下的函数值越接近，误差越小.再两个例题进行比较可以看出上述得出的结论并不只针对某一个指数函数，它对于任何指数函数均成立，可以普遍的应用于指数函数与其多项式逼近函数的误差分析中[4].2.4 自然指数函数展开式的多重分割法2.4.1 自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数定义1 [5]形如()()()211!2!!m m nm x x x S x m m nm =+++++()()()()121121!121!1!m m nm x x x x S x m m nm +++=++++++++()()()()()()11121311!21!31!11!n m m m m m x x x x S x m m m n m +----=+++++---+-⎡⎤⎣⎦其中,3x R m ∈≥均为广义双曲线 定义1'[5] 广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 的等价条件为()()()()()()1211,,,m m m dS x dS x dS x S x S x S x dx dxdx-=== xy e -=2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-以及()()()()12301,0000m S S S S =====广义双曲函数的性质1、2m >时，广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 构成的m 阶循环行列式()()()()()()()()()()12112311m m m m S x S x S x S x S x S x D x S x S x S x -==2、2m >时，广义双曲函数的和较恒等式()()()()()()()11122m m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++()()()()()()()221123m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++()()()()()()()1121m m m m S x y S x S y S x S y S x S y -+=+++2.4.2 自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数定义2[6] 形如()()()()2111!2!!m mnmnx x x T x m m nm =-+-+-+()()()()()1212111!1!21!1!m m nm nx x x x T x m mnm +++=-+-+-++++()()()()()()()111213111!21!31!11!n m m m m nm x x x x T x m m m n m +----=-+-+-+---+-⎡⎤⎣⎦其中,3x R m ∈≥均为广义三角函数. 定义'2[6] 广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 满足下列常微分方程组()()()()()()1211,,,m m m dT x dT x dT x T x T x T x dt dtdt-=== 以及初值条件()()()()12301,0000m T T T T =====广义三角函数的性质1、2m >时，广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 构成的m 阶反循环行列式()()()()()()()()()1221311---1m m m T x T x T x T x T x T x T x T x T x -=2、2m >时，广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 的和角恒等式()()()()()()()()()1112132m m m T x y T x T y T x T y T x T Y T x T y -+=----()()()()()()()()()2211233m m T x y T x T y T x T y T x T Y T x T y +=+--- ()()()()()()()()()33122134m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y +=++--()()()()()()()()()112231m m m m m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y --+=++++3 指数函数多项式展开的应用3.1 应用指数函数展开法求解非线性发展方程在大学课本中我们学习了非线性方程，即因变量与自变量之间的关系不是线性的方程，同样也学习了数学的重要分支之一的微分方程，我们将含自变量、未知数和未知数微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程.本文将呈现的非线性发展方程，即为费线性且依赖与时间的方程，一般为微分方程.给定非线性方程(),,,,,0t x xx tx F u u u u u =，（1） 为了求（1）行波解，令()(),u x t ϕθ=，kx vt θ=+， （2） 这里,k v 是非零的待定参数，（2）式带入方程（1）进行化简得到()ϕθ对应的常微分方程 ()''2''',,,,,0G u vu ku k u kvu =. （3）根据指数函数法，假设方程有如下解的形式:()qi p q ii pp q r r s j r s jj sa e a e a eb eb eb e θθθθθθφθ-=----=-++==++∑∑ （4）这里,i j a b 是待定常数,,,p q s r 均为待定正常数.通过平衡方程式（3）最高导数项与最高非线性项找出r 和p 的关系.同理通过平衡方程式最低导数项和最低非线性项找出q 和s 的关系，进一步找出方程的新解[3]，利用此方法可以求解BBM 方程[7].BBM 方程有如下的基本形式：60txxxxtu u uu u （5）利用变换,,u x tkx vt使方程（1）式变为：''2'''60kv kk v. （6）利用假设条件求出：7'''182r prc e c e ， （7）262'333844r pr prrc e c e c e c e ， （8）其中1,2,3,4k c k ，平衡子式得：762rprpr p . （9）同理7'''586s q s c e c e， （10）262'773888s q s q ssc ec e c e c e， （11）通过平衡子式762s qs q s q .情形1 取1,1rps q，从而方程（4）式变为：101101a ea a eb eb b e， （12）将（12）式代入方程（6）中，利用Maple 计算得到：330ii iCC e ， （13） 这里4101Cb e b b e，令0,33,iC i iR ，进而可得2220101115,,,2466b v kk vbk v k vb kv k va aa kbkk20001111,,,,4b vv b b b b b b代入（12）式，可得2220011120011524664b v kk vb k vk vbk v k veekbkkb e b b eb . （14）(i) 令20114b b b 截得012b b ，从而得到两个孤立波解：22,363cosh 1k k vkvkkx vt. （15）(ii) 令1kK i ，2v K i ，这里1K ，2K 为待定常数，i 为虚数，从而得到两个周期解：21212124,511263cos 1K K K K K K K K x K t. （16）当111011000111,0,0,,,,a b a a baa v vb b b b b从而有161a b 为常数解. 情形2 取2r p ，2s q，为方便起见令110b b，从而方程（4）变为222101222202a e a e a a e a eb e b b e. （17）将（17）式代入方程（6）式中利用Maple 计算，有 770i i iCC e ， （18） 这里422202Cb eb b e ，令0,77,iC i iR ，从而得到22220202224420,,,2466b v kk vbk v k vb kv k va aa kbkk2000222112,,,,0,04b vv b b bb b a ab ，代入（17）式，可得222220022272220022420466244bk k vb k kvb k kvee kkkbb e b b eb （19）(iii) 令20224b b b 解得022b b 从而得到两个孤立波解：28,946cosh 1k k vkv kkx vt. （20）(iv) 令1kK i ，2vK i ，这里1K ，2K 为待定常数，i 为虚数，从而得到两个周期解：212121210,111126cos 1K K K K K K K K x K t. （21）利用指数函数展开法求解非线性发展方程式在Maple 软件运算功能的帮助下，运用指数函数法成功得到了非线性方程的精确解，其中包括孤立波解与周期解.从而可以看出使用指数函数法求解非线性方程除了过程简单外，结果也比较准确.该方法具有普遍性，此方法还可以求解更加复杂类型的非线性发展方程.3.2 利用指数函数展开法求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用罗比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用罗比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展开成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限[8].【例3】 求极限2242412!4!limx x x x e x -→-+-.分析：该题为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将22x e-用其多项式展开式代替,则可化简被求方程式. 解：由222242()21()22!x x x eo x --=-++得 ()22224242422111242422!x x x x x x x e o x -⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-=-+-+-+ 于是()()222242424442444000211112422!824limlim lim 8x x x x x x x x x x xo x o x e xx x -→→→⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-+-++-+-===由题目我们可以看出，它其实也可以用罗比达法则，但是使用罗比达法则我们必须求导4次，为了简化解题过程，本题选择了泰勒展开法，而带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.【例4】 求极限01sin 2lim sin cos x x xe x xx x x .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , x e 分别用泰勒展开式代替,则可化简被求方程式.解：()()()2331sin 1122!3!2xx x x xe x x x o x x x o x ---=++++---+()336x o x =+()()()323323sin cos 162!3x x x x x x x o x x o x o x ⎛⎫-=-+--+=+ ⎪⎝⎭于是3333()1sin 162lim sin cos 2()3xx x xo x x x x x x x o x e →0+---==-+ 本题的极限式为分式，也可利用罗比达法则，但那样将会使解题过程复杂化，解题的过程中也很容易出错.为了简化求极限过程本题选择了泰勒展开法，将cos x ，sin x ，x e 分别泰勒展开为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，且保持分子与分母同阶，这样只需简单的几步就求出了极限值.3.3 利用指数函数展开式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈++++，其误差是余项()n R x .必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果[8].【例5】 求21x e dx -⎰的近似值,精确到510-.分析：因为2x e -的原函数不存在（即不能用初等函数表达）,现用泰勒展开式的方法求21x edx -⎰的近似值.解：将2x e-进行泰勒展开得24221(1)2!!nx nx x ex n -=-+++-+，逐项积分得242111112000001(1)2!n x nx x e dx dx x dx dx dx n -=-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰！111111(1)32!52n 1n n =-+⋅-+-⋅++！11111111310422161329936075600=-+-+-+-+ 上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知71||0.00001575600R ≤< 所以2111111110.7468363104221613299360x e dx -≈-+-+-+≈⎰ 对与类似的定积分求近似值，由于被积函数的原函数不存在无法完成积分过程，则求不出积分值，此时利用泰勒展开法将被积函数化成多项式函数，将其多项式逼近函数带入积分得出原函数的近似值，这样既简化了求解过程又得出的结果. 【例6】 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值，并估计误差. 分析：为求e 得近似值先求x f xe 得10次泰勒展开式，求e 得近似值即求1f 得近似值，利用f x 的麦克劳林展开得到f x 的近似计算式，然后取1x 求出1f 的近似值，即e 的近似值.解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯ 求解e 为底的指数函数或三角函数在某点的近似值时，利用泰勒展开法求出其原函数的近似式进而求出其在改点出的近似值，该方法简捷明了具有一定的普遍性，可广泛运用与其它的解题过程中.3.4 利用泰勒公式证明不等式关于不等式的证明，我们已经学习了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，但对于一些特殊的不等式证明可能使用上述证明方法并不能很好的运用，此时不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往能够使证明过程更加方便简捷[9]. 【例7】当0x ≥时，证明2311126x e x x x ≥+++. 证明：取()2311126x f x e x x x =----，00x =，则()()()()''''''00,00,00,1x f f f f x e ====-带入泰勒公式，其中3n =，得()310003!x e f x x θ-=+++，其中01θ<<故当0x ≥时，2311126x e x x x ≥+++4 结束语通过大学对数学分析的学习，我们了解了指数函数的多项式展开即泰勒展开，并且我们可以了解到泰勒展开对多种函数均成立，且可应用于多种解题过程中.而本文则主要围绕指数函数的多项式展开及其应用，即应用指数函数展开法求解非线性发展方程、利用指数函数展开法求极限、利用指数函数展开式进行近似计算、利用指数函数证明不等式.并简要介绍了自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数、自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数的概念及性质.这肯定不会是指数函数的多项式展开的全部应用，它肯定还有其他方面的应用，这还有待于我们进一步探索研究.经过几个月的学习和工作，我终于完成了本篇论文.从开始拿到论文题目到系统的实现，再到论文文章的完成，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战，这也是我在大学期间独立完成的最大的项目.虽然我的论文作品并不够成熟，还有很多不足之处，但我可以自豪的说，这里面的每一个文字都是我仔细推敲后得到的.这次做论文的经历也会使我终身受益，我感受到做论文是非常需要用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程，没有学习就不可能有研究的能力，没有自己的研究，就不会有所突破，那也就不叫论文了.所以希望这次的经历能够在以后的学习中激励我继续进步.最后，我要特别感谢齐老师，是他在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，使我能够顺利完成毕业设计，在此表示衷心的感激.参考文献[1] 曾德备．关于多项式的定义[J]．玉溪师专学报, 1988,02:9-17. 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