应用基本不等式求最值的解题模板【考点综述】基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。

应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，主要方法有配凑法、分离法、单调性法等，在解题中注意体会蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：配凑法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件；第二步使用基本不等式对其进行求解即可；第三步得出结论.解题模板应用： 例1 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

【答案】1 【解析】 解题模板选择：本题中可配凑基本不等式成立的三个条件，故选取解题方法模板一配凑法进行解答. 解题模板应用：第一步 配凑（凑项、凑系数等）成符合条件的不等式；第二步 使用基本不等式对其进行求解；当且仅当1x =时取等号 第三步 得出结论： 函数14245y x x =-+-的最大值为1 练习1. 已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】原式可化为：22()1313()2x y x y xy ++=+≤+，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==时成立．所以选B.2. 若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A ．16 B ．25C ．36D ．49【答案】A 【解析】 由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到：416416416(1)16111111a a ab a a a +=+=+-≥=------ 当且仅当：4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选：A3. 已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A ．112B ．5C．2+D．3+【答案】C 【解析】解：22222111()22(222)()2b b a b b a ab abb ab ab ab abab+++++++====，当且仅当a =时取等号，即2a =-1b =-时等号成立，故选：C ．4. 已知21(0,0)a b a b +=>>，则21b ab+的最小值等于________． 【答案】2 【解析】 解：由题意得2122222222b ba b b a b a a b a b a b a b++=+=++⋅+=+，当且仅当1a ==-时等号成立，所以21b a b+的最小值为2． 故答案为：2 5. 已知04x <<，则414x x+-的最小值为______． 【答案】94． 【解析】4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4(4)4x xx x-=-，解得1288,3x x ==，又因为04x <<，所以83x =时等号成立．故答案为：94．解题方法模板二：分离法使用情景：二次关系的分式函数的最值问题解题模板：第一步首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；第二步将其化简即可得到基本不等式的形式，第三步并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.解题模板应用：例2 求2710(1)1x xy xx++=>-+的最小值。

【答案】9【解析】解题模板选择：本题中分子是二次形式且分母是一次形式，故选取解题方法模板二分离法进行解答.解题模板应用：第一步，把分母子的一次形式当成一个整体，并将分子的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；第二步，将其化简即可得到基本不等式的形式，第三步，运用基本不等式得出结论：当且仅当1x=时取等号所以最小值为9练习1. 实数x 、y ，1x >-，且满足3xy y x +=-+ ，则x y +的最小值是（ ） A ．1 BC ．2D ．3【答案】C 【解析】3xy y x +=-+，()41341111x x y x x x -+-∴===-+++，1x >-，10x ∴+>，()441122211x y x x x x ∴+=-+=++-≥=++， 当且仅当1x =时，等号成立，因此，x y +的最小值是2. 故选：C.2. 已知0x >，1y >-，且1x y +=，则2231x y x y +++最小值为__________． 【答案】2+ 【解析】22331111x y x y x y x y ⎛⎫+⎛⎫+=++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 结合1x y +=可知原式311x y =++， 且()()13131311411221x y y x x y x y x y +++⎡⎤⎛⎫+=+⨯=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦1422⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当32x y ==-.即2231x y xy +++最小值为2. 3. 已知正实数,x y 满足211x x y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1x y +的最小值为____________.【答案】2【解析】2222112141x x x x x x x x y y y y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，214x yx y y x ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭， 2144x y x y y x ⎛⎫∴+=+≥= ⎪⎝⎭（当且仅当4x y y x =，即2y x =时取等号）， 12x y ∴+≥，即1x y+的最小值为2. 故答案为：2 4.已知()sin cos fx a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b+++的最小值为_______________.【答案】17 【解析】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ=+(tan )baϕ=ab ， 整理得22111a b +=， 则4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()1111117ba ab a b a b a b a b =+++=+++=++=≥， 当且仅当22229b a a b=且22111a b +=，即2,a b =时，取等号 所以4422191a b a b+++的最小值为17故答案为：175. 已知2x y +=，2x >-，3y >-，则2223x y x y +++的最小值为_______，此时x y -_______． 【答案】4725-【解析】令2,3m x n y =+=+，则0,0,7m n m n >>+=，再化简2223x y x y +++493m n=+-， 又49m n +149()()7m n m n =++13149131225()77777n m m n =++≥+=， 当且仅当49n m m n =时取得最小值，又7m n +=，得1421,55m n ==，即当46,55x y ==时，2223x y x y +++有最小值254377-=，此时x y -=25-. 故答案为：47；25-.解题方法模板三：单调性法使用情景：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况解题模板：第一步 运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；第二步 运用基本不等式并检验其等号成立的条件，等号取不到， 结合函数()af x x x=+的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；第三步 得出结论.解题模板应用： 例3求函数2y =的值域．【答案】5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 解题模板选择：本题中等号取不到，故选取解题方法模板三单调性法进行解答. 解题模板应用：第一步，运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；(2)t t =≥，则2y 1(2)t t t ==+≥，第二步，等号取不到， 结合函数()af x x x=+的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值； 因为1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数， 第三步，得出结果. 故52y ≥，所以函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭练习1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项,n m a a ，使得64n m a a ⋅=，则12m n+的最小值为（ ） A．123+B ．1 C．3+D ．75【答案】B 【解析】S n ＝2a n ﹣2，可得a 1＝S 1＝2a 1﹣2，即a 1＝2， n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣2，又S n ＝2a n ﹣2， 相减可得a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， {a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以a n ＝2n ．a m a n ＝64，即2m •2n ＝64， 得m +n ＝6，所以1216m n +=（m +n ）（12m n +）16=（32n mm n ++）16≥（）， 当且仅当2n mm n=时取等号，即为m 6=，n 12=-因为m 、n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1216m n +＞（），验证可得，当m ＝2，n ＝4，或m ＝3，n ＝3，，12m n+取得最小值为1．故选：B ．2. 已知0x >，0y >，且11229x y x y+++=，则x y +的最大值为________． 【答案】4 【解析】 ∵0,0x y >>，21142292()2()2()()4x y x y x y x y x y x y x y x y xy x y +++++==++≥++=++++，当且仅当x y =时等号成立，22()9()40x y x y +-++≤，[2()1](4)0x y x y +-+-≤，142x y ≤+≤，所以x y +的最大值为4，此时2x y ==．3. 已知x ，y 是正数，121x y +=，则21x y xy ++的最小值为________.【答案】89【解析】 由121x y +=可得21x y xy+=，即2x y xy +=， 所以211111x y xy xy xy xy+==+++，由121x y =+≥， 得8xy ≥，当且仅当24x y ==时取等号，所以有1108xy <≤，19118xy <+≤，18191xy≥+， 所以21811191x y xy xy xy xy +==≥+++， 所以21x y xy ++的最小值为89，当且仅当24x y ==时取等号，故答案为：89. 4. 已知正实数a ，b ，c 满足2222a b c +=，则c ca b+的最小值为___________． 【答案】2 【解析】因为22222c a b ab =+≥，即2c ab ≥，所以2c c a b +≥=≥，当且仅当c c a b =即2c ab =时，等号成立，所以c ca b+的最小值为2. 故答案为：2.。