第二章 插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。

因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

当090x ≤≤时， 令()cos f x x = 取0110,()606018010800x h ππ===⨯= 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902x π==当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为11111()()()k kk k k k k kx x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--插值余项为111()cos ()()()()2k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=-- 又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播过程。

*5**112111*1111*1*1(())102()(())(())(())()1(())()(())k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x hf x εεεεεε-++++++++++∴=⨯--=+----≤+--=-+-=∴总误差界为12*1*12*855()()1(cos )()()(())21()()(())211()(())2211.06101020.5010610k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=---+≤⨯--+≤⨯+=⨯+⨯=⨯ 4．设为互异节点，求证： （1）0()nk kj j j x l x x=≡∑ (0,1,,);k n =（2）0()()0nk jj j xx l x =-≡∑ (0,1,,);k n =证明（1） 令()kf x x =若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()nk n j j j L x x l x ==∑。

插值余项为(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤(1)()0()0n n f R x ξ+∴=∴=()nk kj jj x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =000(2)()()(())()()(())nk j j j n nj i k i k j j j i nnik ii kj j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑0i n ≤≤又 由上题结论可知()nk ij jj x l x x ==∑()()0ni k i ik i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式∴得证。

5设[]2(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：21max ()()max ().8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为10101010()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+--=()()x b x af a f b a b x a--=+--1()()0()0f a f b L x ==∴=又插值余项为1011()()()()()()2R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2f x f x x x x x ''∴=-- []012012102()()1()()21()41()4x x x x x x x x x x b a --⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭=-=-又∴21max ()()max ().8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 6．在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表，若用二次插值求xe 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为2111()()()()()3!i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=--- 211441()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f x-+-≤≤'''∴≤---设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+434321().627R x e h ∴≤=若截断误差不超过610-，则62436()10100.0065.R x h h --≤≤∴≤ 7．若442,.n n n n y y y δ=∆求及，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

2n n y =44(1)n n y E y ∆=-44044044044(1)4(1)4(1)2(21)2j j nj j n jj j jnj nn nE y j y j y j y y -=+-=-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭=-==∑∑∑ 114422()n n y E E y δ-=-14422422()(1)2nnn n E E y E y y ----=-=∆==8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ∆=+-，证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式，并且1()0m f x +∆=（l 为正整数）。

解：函数()f x 的Taylor 展式为2()(1)1111()()()()()()2!(1)!m m m m f x h f x f x h f x h f x h f h m m ξ++'''+=++++++ 其中(,)x x h ξ∈+ 又()f x 是次数为m 的多项式(1)()0()()()m f f x f x h f x ξ+∴=∴∆=+-2()11()()()2!m m f x h f x h f x h m '''=+++()f x ∴∆为1m -阶多项式 2()(())f x f x ∆=∆∆ 2()f x ∴∆为2m -阶多项式依此过程递推，得()kf x ∆是m k -次多项式()m f x ∴∆是常数 ∴当l 为正整数时，1()0m f x +∆=9．证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆ 证明11()k k k k k k f g f g f g ++∆=-111111111()()k k k k k k k kk k k k k k k k k k k k k kf g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=∆+∆=∆+∆∴得证10．证明110010n n k kn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑证明：由上题结论可知1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆-∆101101110(())()n k kk n k k k k k n n k k k kk k f g f g g f f g g f -=-+=--+==∴∆=∆-∆=∆-∆∑∑∑∑1110110022111100()()()()()k k k k k k n k k k n n n n n n f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--∆=-∴∆=-+-++-=-∑110010n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==∴∆=--∆∑∑得证。