第1章优化设计的基本概念及相关理论● 1.1 概述● 1.2 优化设计的基本要素和数学模型● 1.3 多元函数的基本性质● 1.4 无约束优化问题的极值条件● 1.5 约束优化问题的极值条件1.1 概述●优化设计的概念？●优化设计是20 世纪60 年代初发展起来的一门新学科，它是将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学设计方法。

利用这种新的设计方法，人们就可以从众多的设计方案中寻找出最佳设计方案，从而大大提高设计效率和质量。

●优化设计方法的发展？●传统设计方法只是被动地重复分析产品的性能，而不是主动地设计产品的参数。

作为一项设计不仅要求方案可行、合理，而且应该是某些指标达到最优的理想方案。

虽然设计中的优化思想在古代设计中就有所体现，但直到直至20 世纪60 年代，电子计算机和计算技术的迅速发展，优化设计才有条件日益发展起来。

●优化设计方法的发展？●现代化的设计工作已不再是过去那种凭借经验或直观判断来确定结构方案，也不是像过去“安全寿命可行设计”方法那样，。

而是借助电子计算机，应用一些精确度较高的力学的数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并从大量的可行设计方案中寻找出一种最优的设计方案，从而实现用理论设计代替经验设计，用精确计算代替近似计算，用优化设计代替一般的安全寿命的可行性设计。

●优化设计方法的发展？●近年来，优化设计在汽车设计中的应用也愈来愈广，汽车零部件的优化设计，各系统的优化匹配等在近十几年也有很大发展，各种减速器的优化设计、万向传动和滚动轴承的优化设计以及轴、弹簧、制动器等的结构参数优化等都得到了广泛研究。

另外，近年来发展起来的计算机辅助设计（CAD) ，在引入优化设计方法后，使得在设计过程既能够不断选择设计参数并评选出最优设计方案，又可以加快设计速度，缩短设计周期。

把优化设计方法与计算机辅助设计洁合起来，使设计过程完全自动化，已成为设计方法的一个重要发展趋势。

优化问题示例图为由两根钢管组成的对称桁架。

A处垂直载荷P=300000N，2L=152c m，空心钢管厚度T=0.25c m，材料弹性模量E=2.16X107N/c m2，屈服极限σs=70300N/c m2。

求：在满足强度条件和稳定性条伴下，使体积最小的圆臂直径d和桁架高度H。

解: 为保证桁架可靠地工作，就必须要求杆件具有足够的抗压强度和稳定性。

抗压强度: 杆件截面上产生的压应力不超过材料的屈服极限;杆内力:θcos 2p N =其中：22cos H L H +=θ杆截面压应力：dTH H L P F N πσ222+==抗压强度： σ ≤ σs稳定性:杆件截面上的压应力不超过压杆稳定的临界应力。

满足稳定性不发生屈曲破坏的条件为：e σσ≤ 为压杆屈曲极限按欧拉公式：)(222H L F EIe +=πσI 为圆管的剖面惯性矩要求在具有足够的抗压强度和稳定性的条件下，求总体积 最小的杆件尺寸参数H 和d ， 结构总体积：)(222H L Td W +=π要求满足：)(222H L Td W +=π ⑴抗压强度)(22≥+-T d H H L P s πσ ⑵稳定性强度)()(8)(2222222≥+-++TdH H L P H L T d E ππ问题的最优解为：d=4.77cm ; H=51.31cm 最优点的体积为：W=686.73cm31.2优化设计的基本要素和数学模型● 优化设计包括建立优化问题的数学模型和选择恰当的方法寻求最优方法。

本节简要叙述优化设计的数学模型及涉及的基本术语。

1. 1.2.1设计变量● 在一项设计中，有些参数的数值可根据设计对象的具体情况预先给定，这些参数称为设计参数。

如导入实例中传动轴的计算转矩、最高工作转速等都是设计常数。

而另一些参数的数值则要在设计过程中优选确定，这一部分参数可看作是变量，称为设计变量。

● n 个设计变量按一定顺序排列成数组，称为n 维列向量，表示为：[]Tn n x x x x x x X 2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=(1-1)● 其中，（i=1,2，，n ）是n 维向量的分量。

n 个设计变量组成一个n 维向量。

而以n 个设计变量为坐标轴则构成一个实空间，称为n 维实欧式空间，用 表示。

在这个空间中，任意一个点都表示一组设计变量的确定值，这种点称为设计点，它代表一个设计方案。

由于这个空间包含着无数设计点，所以称它为设计空间。

设计空间是所有设计方案的集合，用符号表示。

设计空间中任一个设计方案，被认为是从设计空间原点出发的设计向量。

对于二维和三维设计空间，可以通过作图直观地理解上述概念。

（a ）二维设计平面 （b ）三维设计平面图1-2 设计空间示意图X∈nE设计变量的个数决定了设计空间的维数，而设计空间的维数又表征设计的自由度。

设计变量愈多，则设计的自由度愈大，求解亦愈复杂。

故通常在保证必要的设计精度的前提下，设计变量尽可能取少些。

设计变量有连续变量和离散变量两种形式。

设计变量的值是连续变化的，称为连续变量。

例如结构的长度尺寸、角度、重量等，可以在一定范围内任意取值。

但在一些情况下，设计变量的值只能按某种离散数列来变化，则称为离散变量。

例如齿轮的齿数、模数、钢丝直径等，不能任意取值，只能在规定的数列中取值。

● 1.2.2 约束条件● 如前所述，设计空间是所有设计方案的集合，但实际上并不是任何一个设计方案都是可行的。

例如出现负值的面积、长度等。

因此，在设计过程中，为了得到可行的设计方案，必须根据实际的要求，对设计变量的取值加以限制。

这种限制条件就是设计的约束条件。

因每一个约束条件都是设计变量的函数，故又称约束函数。

● 1. 约束条件的形式● 约束条件可以用数学等式或不等式来表示。

等式约束对设计变量的约束严格，其形式为)n p ,,2,1(0),,,()(21<=== v x x x h X h n v v● 在机械设计优化中，不等式约束更为普遍，它的形式为)m ,,2,1(0),,,()(21 =≤=u x x x g X g n u u ● 式中，p 、m 分别表示施加于该项设计的等式约束条件数和不等式约束条件数。

● 约束条件也可以根据约束函数的性质分为显约束和隐约束两种。

● 显约束是指有明确设计变量函数关系的一种约束条件；● 而隐约束则是对某个或某组设计变量的间接限制条件，是设计变量的一个可计算函数。

如一个复杂机构的最大工作应力可能是通过有限元方法计算得到的等等。

● 另一种分类法是将约束条件分为边界约束和性能约束。

● 边界约束又称为区域约束，用以限制某个设计变量的变化范围，或规定某组变量间的相对关系。

边界约束属于显约束。

●性能约束又称性态约束，它是指机械工作性能或状态要求的限制条件，是根据对机械的某项性能要求而构成的设计变量的函数方程。

例如，机械零件的强度、刚度、效率或振动频率的允许范围。

这类约束函数，可根据力学和机械设计的公式与规范导出，所以性能约束通常是隐约束，但也有显约束的情况。

● 2．可行设计区域与非可行设计区域●一个不等式约束将n 维实欧式设计空间分成两部分：一部分是满足约束条件的设计点，称为可行设计点，可行设计点的集合R 称为可行设计区域；另一部分是不满足约束条件的设计点，称为非可行设计点，这种设计点的集合称为不可行区域。

●2．可行设计区域与非可行设计区域)m ,,2,1(0),,,()(21 =≤=u x x x g X g n u u的可行设计区域即在该曲线的AB 段{}u |()0,()0,1,,;1,,v R X g X h X u m v p =≤===● 1.2.3 目标函数● 要从许多可行设计方案中评选出一个最优的方案来，就得有一个衡量设计方案的标准。

若能把这个“标准”表示为设计变量的可计算函数，优化这个函数，则可以取得最优设计方案。

这里的函数称为目标函数或评价函数，它是以设计变量为自变量，以所要求的某种目标为因变量，按一定关系所建立的用以评价设计方案优劣的数学关系式，记作通常都写成追求目标函数值最小的形式，即12()(,,,)n f X f x x x =● 1.2.3 目标函数● 目标函数有单目标函数和多目标函数之分。

用一个评价标准建立的目标函数称为单目标函数，单目标函数的最优化问题称为单目标优化问题。

如果同时兼顾几个评价标准建立的目标函数，则称为多目标函数，在同一个设计中提出多个目标函数的优化问题，称为多目标优化问题。

● 1.2.4优化设计的数学模型● 优化设计问题的数学模型是实际设计问题的特性和本质的抽象，是反映各主要因素之间内在联系的一种数学形态。

优化设计的数学模型一般包括设计变量、目标函数和约束条件三个基本要素，其含义为，在满足一定的约束条件下，选取设计变量，使目标函数值达到最小。

min ()nX Ef X∈1.2.4 优化设计的数学模型●如果目标函数、约束函数中有一个或多个是的非线性函数，则称此优化问题为非线性规划问题。

●上式表示的优化设计数学模型，称为约束优化问题。

若式中的m=p=0，即不存在任何约束条件，则称此问题为无约束优化问题。

在工程实际问题中，不加任何限制条件的设计问题是不多的，绝大多数都是约束优化问题。

但因为无约束优化问题是约束优化方法的基础，所以在第3章将详细介绍无约束优化方法。

建立数学模型是最优化过程中极为重要的一步，数学模型的好坏将直接影响设计质量。

1.3 多元函数的基本性质● 本节首先对目标函数和约束函数的某些性质、目标函数达到最优解的某些规律作些必要的讨论。

同时，对优化设计所涉及的多元函数的极值理论的基本概念及有关的数学知识作些阐述。

这些都是机械优化设计方法的理论基础。

1.3.1. 目标函数的等值面（线）● 优化设计的目标函数一般可表示为设计变量的可计算函数。

也就是说，若给定一个设计方案，即给定一组的值（实值）时，目标函数必有一确定的数值。

那么，若给定函数值，则有无限多组的数值与之相对应。

也就是说，当时，在设计空间中有一个点集。

一般情况下，此点集是一曲面或超曲面，称之为目标函数的等值面。

0)(24≥=x x g 二维函数的等值线● 等值面具有以下几个性质：.● 1）不同值的等值面之间不相交。

这是因为目标函数一般都是单值函数。

● 2） 除了极值点所在的等值面外，其余的等值面不会在区域的内部中断。

这是因为目标函数都是连续函数。

● 3） 等值面稠密的地方，目标函数值变化快；稀疏的地方变化慢。

● 4） 一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭圆面族（椭圆族）。

1.3.2. 方向导数和梯度● 1.偏导数 众所周知，对于一元函数，可用导数来描述函数相对于自变量的变化率。

同样，对于多元函数，可用偏导数的概念来研究函数值相对于其中一个自变量（其余自变量保持不变）的变化率。