（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取 不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意 一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得 f(ξ)=C (a<ξ<b) 几何意义 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少 相交于一点.
第十节、闭区间上连续函数的性质 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
最值概念 设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得 对任一x∈I，恒有
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
例1 判断下列说法的正确性
(1)
(2)
f ( x )在 x0处连续，| f ( x ) | 在 x0 处也连续.
f f ( x ) 在 x 0 处连续，
( x ) 在 x0 处也连续.
g ( x )在 x0处不连续 (3) f ( x )在 x0 处连续， f ( x ) g( x ) 在 x0处一定不连续. g ( x ) 在 x0处不连续 (4) f ( x )在 x0处不连续， f ( x ) g( x )在 x0处一定不连续.
(5) f ( x ) 在 a , b 上不连续，则 f ( x ) 在 a , b 上无界
y
y f ( x)
推论
B C A
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域 o a 为闭区间[m,M],其中m与M依次为f(x)

b x
在[a,b]上的最小值与最大值.
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
x 1 0 x 1 y 1 x 1 x 3 1 x 2
y
2
x 在[0,2]上
o
1
2
x
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
如果x0使f(x0)=0，那么x0称为函数f(x)的零点. 定理
则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.
注 (1) 最大值可以等于最小值 (2) 函数在区间I上可能取不到最值 定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的
最大值和最小值.
几何意义
y
o a 注 定理的条件是重要的 例 y y= x 在(1,2)内 o 1
1
2 bx
(6) 一切初等函数在其定义域内连续.
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
思路
初等函数
找间断点 分段函数 判类型 求极限
间断点 间断点
无定义的点 无定义的点 分段点（嫌疑）
二、题型练习
连续的概念 定义
x 0 x 0
注意
优点
lim y
lim [ f ( x0 x ) f ( x0 )] 0
左连续
x x0
x是变量
直观、 便于分析
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
三个要点
自然、 便于应用
（四）应用
例
证明方程 x 3 4 x 2 1 0 在区间(0,1)内至少 有一个实根.
例 若f (x)在 ( ,)内连续,且lim f ( x )存在,则
x
f (x)在 ( ,)内有界.
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
函数的连续性习题课
一、内容小结
初等函数的连续性
连续函数经过四则运算仍连续 连续函数经过复合运算仍连续
基本初等函数在定义域内连续 初等函数 在其定义区间内连续
闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理
零点定理与介值定理
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
二、题型练习
1 f ( x) ln x
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即
f(a)· f(b)<0)，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ使f(ξ)=0. 几何意义 如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点 位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧 y
与x轴至少有一个交点. o
a ξ b x
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
有定义的开区间
求连续区间 讨论分段点的连续性
合并
例2 确定下列函数的间断点,判断类型,并求连续区间
1 1 1 (1) f ( x ) x 1 x 1 x 1 x
讨论全面
(2) f ( x ) ( x 1) sin x 2
( x 1) x
讨论左右极限
x=0也是间断点
(3)
右连续
0, 0 当| x x0 | 时
| f ( x ) f ( x0 ) |
x可以等于 x 0
清晰、便于论证
间断的概念与分类 概念
f ( x) 在 x0 处没有定义 f ( x) 在 x0 处有定义 但 lim f ( x) 不存在 f ( x) 在 x0 处有定义 lim f ( x) 存在 但lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
x x0
x x0
分类 第一类间断点 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) 间断点 都存在
可去间断点 f ( x0 ) f ( x0 ) 跳跃间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
无穷间断点
第二类间断点 振荡间断点 f ( x0 )和 f ( x0 ) 至少一个不存在