t
s 0
lim
s0
0
d
f (t dt
)
e
st
d
t
lim sF (s)
s0
f
(0)
df (t) dt lim sF (s) f (0)
0 dt
s0
lim f (t) f (0) lim sF (s) f (0)
t
s0
2020/6/21
第三讲 控制系统的数学模型（2）
22
拉普拉斯变换的性质（10）-卷积定理
Lf (t / a)
f (t / a)estdt
0
t a f ( )esa da aF(as) 0
2020/6/21
第三讲 控制系统的数学模型（2）
15
拉普拉斯变换的性质（5）-时间t乘函数f（t）
Ltf(t)dF(s)
ds
dF (s) d
f (t )e st dt
ds ds 0
1
d est
0
s
f(t)est s
|0 0esstd(ft)
f(0)1 ss
0ddtf(t)estd
tf(0)G(s) ss
当初始条件f（0）＝0时，G（s）＝sF（s）。
2020/6/21
第三讲 控制系统的数学模型（2）
17
拉普拉斯变换的性质（6）-微分定理
若 g(t) dnd，ftn(t) 则 G ( s ) s n F ( s ) s n 1 f ( 0 ) . . s ( . n 2 ) f ( . 0 ) f ( n 1 ) ( 0 )
0
s
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第三讲 控制系统的数学模型（2）
7
常用函数的拉普拉斯变换（2）
单位脉冲函数：（幅值1/t0与作用时间t0的乘积等于1）
0
(t)tl0i m0t10
0t和t t0 0t t0
单位脉冲函数的拉氏变换：
δ(t) 1/t0
0 t0
t
F (s ) L(t) tl0 i 00 tm 0t1 0e sd t tt l0 i 0 t1 m 0• e s s tt 0 0 tl0 i 0 t1 0 m s1 e s0 t tl0 i 0d d m 0 d d 1 0 t s te 0 st0 t s s 1
当冲击函数的幅值为A/t0，与作用时间的乘积等于A时：
F (s) L A • (t) A
2020/6/21
第三讲 控制系统的数学模型（2）
8
常用函数的拉普拉斯变换（3）
单位斜坡函数：
0, t 0 f (t) t, t 0
f(t) 1
单位斜坡函数的拉氏变换：
0
1
t
F ( s ) L f( t ) 0 t s e d t 0 t t s d s t e t s s e |0 t 1 s 0 e s d t s 1 2 t
u(t) 10,,
t 0 t 0
u(t) 1
单位阶跃函数的拉氏变换：
0 t
F (s) L u (t)0 u (t)e sd t t0 e sd t t e s s t0 1 s
幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为：
F (s)L A(tu ) A(tu )e sd t tA
L f1(t)*
f2 (t)
L
t
f1 (t
0
)
f
2
(
)d
L
f1 (t
0
)1(t
)
f
2
(
)d
0
f1 (t
0
)1(t
)
f
2
(
)d
e
st
dt
f1(t )1(t )es(t )dt • f2 ( )es d
00
t f1()es d • f2 ( )es d F1(s)F2 (s)
0
0
2020/6/21
第三讲 控制系统的数学模型（2）
24
常见函数拉氏变换对照表（1）
(t) 1
1(t)
1
s
1
t
s2
e at
1
s a
te at
1 (s a )2
sin t cos t t n ( n 1,2 ,3 ,...) t n e at ( n 1, 2 ,3 ,...) 1 ( e at e bt ) ba
s
ls im 0ddf(tt)estdtls imsF(s)f(0)
0limsF(s) f (0) s
2020/6/21
第三讲 控制系统的数学模型（2）
21
拉普拉斯变换的性质（9）-终值定理
若函数F（s）在虚轴及右半平面没有极点，但极限存在， 则原函数的终值为：
lim f(t)f( )lim s(F s)
L f(t)dt
f(t)dtestdt
f(t)dt1 dest
0
0
s
f(t)dt•est s
| 0 0esst
f(t)dtf1(0)F(s) ss
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第三讲 控制系统的数学模型（2）
19
拉普拉斯变换的性质（7）-积分定理
若 g(t)...f(t)d ()nt
则 G (s) F s (n s)f s 1 n (0 )fs 2 n (1 0 ) .. .f. n s(0 )
0
0
s a
2020/6/21
第三讲 控制系统的数学模型（2）
10
常用函数的拉普拉斯变换（5）
正弦函数： f(t)si nt
正弦函数的拉氏变换：
ejt costjsint ejt costjsint
F(s)Lsint sintesd t t 1 e(sj)td t 1 e(sj)tdt
在时间域里直接求解微分方程，难于找出微分方程的系数（由组成系 统的元件的参数决定）对方程解（一般为系统的被控制量—输出量） 影响的一般规律。
一旦求得的结果不满足要求，便无法从解中找出改进方案（如何调整 系统的结构和参数）。因此这种方法不便于对系统进行分析和设计。
2020/6/21
第三讲 控制系统的数学模型（2）
斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为：
F(s)L A(tf)A tsd te tA
0
s2
2020/6/21
第三讲 控制系统的数学模型（2）
9
常用函数的拉普拉斯变换（4）
指数函数：
f (t) eat
指数函数的拉氏变换：
F ( s ) L e a t e a e tsd t t e (s a ) td t1
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第三讲 控制系统的数学模型（2）
2
微分方程的求解与不足
微分方程是在时间域里描述控制系统动态性能的数学模型。
在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出特性； 这种方法比较直观，特别是借助于计算机，可迅速准确地求得结果。 然而不用计算机，则求解微分方程，特别是高阶微分方程的计算工作 相当复杂。
当f（0）＝0，f（1）（0）＝0，…，f（n－1）（0）＝0时，
G(s)snF(s)
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第三讲 控制系统的数学模型（2）
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拉普拉斯变换的性质（7）-积分定理
若 g(t) f，(t则)dt
G(s。)F(s)g(0) ss
当初始条件g（0）＝0时， G(s) F(。s) s
即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。
若g（t）＝Af（t）， 则 G（s）＝AF（s）
即函数的A（实数）倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的A倍。
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第三讲 控制系统的数学模型（2）
12
拉普拉斯变换的性质（2）-衰减定理
若g（t）＝f（t）e－at， 则 G（s）＝F（s＋a）。a为实数
F F ft ft•ejtdt
傅立叶反变换：
ftF 1F 2 1 F ejtd
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第三讲 控制系统的数学模型（2）
5
拉普拉斯变换的定义
以时间t为自变量、定义域为t0的函数f（t）的拉氏变换定义为：
LftFs0 ftesd t t
式中：s为复变量，s＝＋j；
一个函数f（t）可以进行拉氏变换的充分条件（狄里赫利条件）是：
3
拉普拉斯变换
工程技术上常用傅立叶方法分析线性系 统，因为任何周期函数都可展开为含有 许多正弦分量的傅氏级数，而任何非周 期函数可表示为傅氏积分，从而可将一 个时间域的函数变换为频率域的函数－ 傅立叶变换。
工程实践中，常用的一些函数，如阶跃 函数，它们往往不能满足傅氏变换的条 件，如果对这种函数稍加处理，一般都 能进行傅氏变换，因而也就引入了拉普 拉斯变换。
拉普拉斯变换是求解线性微分方程的简 捷工具，同时也是建立系统传递函数的 数学基础。
拉普拉斯变换的定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 常见函数拉普拉斯变换表 拉普拉斯反变换 利用拉氏变换解微分方程
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第三讲 控制系统的数学模型（2）
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傅立叶变换与反变换
傅立叶变换：
L f1 (t)*f2 (t) L f1 (t)L f2 (t) F 1 (s)F 2 (s) L f2 (t)*f1 (t) L f2 (t)L f1 (t) F 2 (s)F 1 (s) F 1 (s)F 2 (s)
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第三讲 控制系统的数学模型（2）
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拉普拉斯变换的性质（10）-卷积定理
0
2j 0
2j 0
21js1js1js2 2
余弦函数的拉氏变换：
F (s) L co t s co t e s sd t t s