由分离体平衡得：
Fn 0
s Ss xScos2t xyScossin s ySsin 2t yxSsincos0
图1
考虑切应力互等和三角变换：
s
sx
y
sy
ttxy
n
Ox
t
图2
t xy t yx;
cos2 1 cos2 ;
2
sin2 1 cos2 ;
2
2sin cos sin 2
sy
s 6095MPa t 6025 3MPa
t
s
x
s
2
y
sin2
t
xy
cos2
五、梁的主应力及主应力迹线
P1
P2
q
1
2 3 4
5
如图，已知梁发生剪切弯 曲（横力弯曲），其上M、 Q>0，试确定截面上各点主 应力大小及主平面位置。
单元体：
s
x
My Iz
t
xy
QS bI
z
z
s s
1 3
s x
2
（s x）2t
实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。
拉力
s3 s1
两组曲线正交.
压力
y
1234
i
a
b
c
d
n
主应力迹线的画法： x
1234
i
n
截面截面截面截面 截面 截面
q
s1 s3
§9–4 三向应力状态简介
1、空间应力状态
y
s1
t
s2
s3
z
x
s3
s2
s
s1
2、三向应力分析
t
y
s1
t max
s2
s3
s3
y
面的法线 应力圆的半径
Ox
t n D( s , t
2
C
x
两面夹角 两半径夹角2 ；
A(sx ,txy) s
且转向一致。
O
B(sy ,tyx)
点面对应,转向相同,转角二倍
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
x
21
A(sx ,txy)
OC
s3 s2
20 s1 s
B(sy ,tyx)
t m in
s s
sy
y
主单元体(Principal body)：
sx
各侧面上切应力均为零的单元体。
sz
z
s2
s3
主平面(Principal Plane)：
切应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s 1s 2 s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
1
1 E
s
1
s
2
s
3
2
1 E
s
2
s
3
s
1
3
1 E
s
3
s
2
s
1
方向一致
tg2
0
xy x y
2t xy s x s
y
tg2
0
四、平面状态下的应力---应变关系:
s
x
E
1
2
x
y
s z t yzt zx 0
s
y
E
1
2
y x
t xyG xy
主应力与主应变方向一致?
tg2
0
2t xy s x s y
在坐标系内画出点A(s x，txy)和 B(sy，tyx)
AB与s 轴的交点C便是圆心。
2
C
A(sx ,txy) s
以C为圆心，以AC为半径画
O
圆——应力圆；
B(sy ,tyx)
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
sy
n 三、单元体与应力圆的对应关系
s
sx
t txy
面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
25 3
s2
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
B(45,25 3)
AB的垂直平分线与
s 轴的交点C便是
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画 圆——应力圆
t (MPa)
B
s3
O
s2
A
20
C
20MPa
s1
s
(MPa)
主应力及主平面如图
s 1 120 s 220 s 30 0 30
25 3
s2
长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。
1
u
sb
E
; (1 0)
1
1 E
s 1
s 2
s 3
sb
E
1、破坏判据：s 1 s 2 s 3 s b
2、强度准则：s 1 s 2 s 3 s
3、适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。
同时考虑了s1、s2、s3，适用于脆性材料（一般非金属）。 不适用于两向拉、压。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
sx B sx
tzx
txz
sx
sx
A
§9–2 二向应力状态分析——解析法
y
sy
sy
txy sx
等价 y
第九章 应力状态与强度理论
§9–1 引言 §9–2 二向应力状态分析——解析法 §9–3 二向应力状态分析——图解法 §9–4 三向应力状态简介 §9–5 广义虎克定律 §9–6 复杂应力状态的应变能密度 §9–7 四种常用的强度理论 §9–8 莫尔强度理论
§9–１ 引 言
一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
ds
d
sx s y
sin 2 2t xy cos2
0时,s有最大最小值。
s取得极值时,t 0极值正应力就是主应力！
主平面法线与X轴夹角:
tg20
2t xy sx s y
可求出相差90º的两个0 ,定两个互相垂直 平面,分别对应最大、最小主应力:
ssmm
ax in
s
x
s y
±
s
（x
2
E
1
2
2 xyG [( x y )(1
)] (
xy x
y
)
tg2
0
一、概述： §9–7 四种常用的强度理论
（一）、简单变形时强度条件的建立：
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
P M
低碳钢
铸铁
确定破坏（极限）应力，得许P用应力，建立相应的强度条件， P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
2
2 xy
1
s3 s3
0 s1
s3
3 –45°
s1s3
0 s1 5 s1
t
D1 A2
A1 D2
CO
s
D1
t
A2
20
A1
CO
s
D1 t
D2
D1
CO
20= –90°
s
D2
t
D2 A2
A1 D1
OC
s
t
A2
20
O
D1 A1
C
s
D2
主应力迹线（Stress Trajectories)：
主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。
yz zx 0
txy
Hale Waihona Puke zx三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
sy
x
1 E
s
x
s
y
s
z
y
sx
sz
txy
z
x
依叠加原理,得:
x
s x
E
sy
E
sz
E
y
1 E
s
y
s
z
s
x
z
1 E
s
z
s
x s
y
x
y
t
xy
G
y
z
t
yz
G
zx
t zx
G
1 E
s
x
s
y
s
z
主应力 --- 主应变关系
45 B 95
A
150° 0 25 3
s1
t (MPa)
B
s3
O
s2
A
2s0
C
20MPa
s1
s
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
25 3
45 95
60°
150° 25 3
s s
1 2
s
x
s
2
y
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
s y 45MPa
t yx25 3MPat xy
y Ox
s x ?
（二）、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说 。 找到原因后，利用简单应力状态的实验结果，建立复杂应力