28.2 解直角三角形（二）一、课前预习 (5分钟训练)1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( )A.3B.4C.5D.62.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1图28－2－2－1 图28－2－2－２3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A.94 B.45.4 C.92 D.932.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________.3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC.图28－2－2－34.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图28－2－2－４5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图28－2－2－５三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)图28－2－2－6 图28－2－2－72.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，3≈1.732）图28－2－2－84.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.图28－2－2－95.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图28－2－2－106.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－117.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－128.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图28－2－2－13参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( )A.3B.4C.5D.6 解析：AC=BC·tanB=6. 答案：D2.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是( )图28－2－2－1A.4B.3C.2D.1解析：求BD 需求BC,而BC=AD,在Rt △ADC 中,已知一角一边,可求出AD. 在Rt △ADC 中，CD=3，且cos ∠ADC=53，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2. 答案：C3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）图28－2－2－２解析：在Rt △ABD 中,∠A=60°，CD=5，∴AC=331060sin =︒CD ,AD=33560tan =︒CD .答案:3310 335二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A.94 B.45.4 C.92 D.93 解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为92. 答案：C2.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________.解析：搞清观察方向，可以借助示意图来解决. 答案:南偏西15°或西偏南75°3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC.图28－2－2－3分析：作BC 边上的高AD ，构造直角三角形.在Rt △ADB 中已知一角一边，可求得AD 、BD ，在Rt △ADC 中由勾股定理求出CD.解：过点A 作AD ⊥BC 于D, 在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sinB=ABAD, ∴AD=AB·sinB=4·sin45°=4×22=22, ∴BD=22.在Rt △ADC 中，AC=6, 由勾股定理得DC=72)22(62222=-=-AD AC ,∴BC=BD+DC=7222+,tanC=7147222==DC AD . 4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB 的高度.在地面上C 点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC 后退8米到D ，在D 点又测得旗杆顶A 的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB 的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图28－2－2－４解：设EF 为x 米， 在Rt △AEF 中,∠AFE=60°， ∴AE=EF·tan60°=3x ， 在Rt △AGE 中,∠AGE=45°， ∴AE=GE·tan45°=GE=8+x. ∴3x=8+x.解之,得x=4+43. ∴AE=12+43≈18.8. ∴AB=20.4(米). 答:旗杆AB 高20.4米.5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角为30°，它在水中的倒影B′C 顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图28－2－2－５解Rt △AEB 与Rt △AEB′,得AE 与BE 、EB′的关系，解关于x 的方程可求得答案. 解：设树高BC=x(m)，过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABE 中，BE=x －2,∠BAE=30°,cot ∠BAE=BEAE, ∴AE=BE·cot ∠BAE=(x －2)·3=3 (x －2). ∵∠B′AE=45°,AE ⊥BC. ∴B′E=AE=3(x －2).又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2, ∴3(x －2)=x+2.∴x=(4+23)(m). 答：树高BC 为(4+23) m. 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高度为( )图28－2－2－6A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα) 解析:过D 点作AB 的垂线交AB 于E 点，在 Rt △ADE 中,∠ADE=α,DE=a, ∴AE=a·tanα.在Rt △ABC 中,∠ACB=β,BC=a, ∴AB=a·tan β.∴CD=AB －AE=a·tan β－a·tan α. 答案:D2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）图28－2－2－7解析:AB=BC·tanC=12(米). 答案:123.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200 m ，CD=100 m ，求AD 、BC 的长.（精确到1 m ，3≈1.732）图28－2－2－8解：延长AD ，交BC 的延长线于点E ，在Rt △ABE 中，∠A=60°，AB=200 m ， ∴BE=AB·tanA=3200 (m). AE=2120060cos =︒AB =400(m).在Rt △CDE 中，∠CED=30°，CD=100 m ，∴DE=CD·cot ∠CED=3100(m), CE=21100sin =∠CEDCD =200m.∴AD=AE －DE=400－3100≈227(m), BC=BE －CE=3200－200≈146(m).4.如图28－2－2－9，在△ABC 中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB 和BC.图28－2－2－9解：作三角形的高AD.在Rt △ACD 中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=2.在Rt △ABD 中,∠B=30°,AD=2，∴BD=630tan =︒AD ，AB=2230sin =︒AD.∴CB=BD+CD=2+6.5.如图28－2－2－10，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图28－2－2－10解：在Rt △ABD 中,BD=80米，∠BDA=60°， ∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）. Rt △AEC 中,EC=BD=80,∠ACE=45°， ∴AE=CE=80(米).∴CD=AB －AE≈58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－11解:继续向东行驶,有触礁的危险.过点C 作CD 垂直AB 的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°.设CD 的长为x,则tan ∠CBD=BDx BD CD =, ∴BD=33x. ∴tan ∠CAB=tan30°=x x AD CD 33633+==.∴x=33.∴x≈5.2<6.∴继续向东行驶,有触礁的危险.7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB 的长为5米（BC 所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－12解：（1）如图，在Rt △ABC 中，AC=AB·sin44°=5sin 44°≈3.473.在Rt △ACD 中，AD=︒=︒32sin 473.332sin AC ≈6.554. ∴AD －AB=6.554－5≈1.55.即改善后的台阶会加长1.55米,（2）如图，在Rt △ABC 中，BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597.在Rt △ACD 中，CD=︒=︒32tan 473.332tan AC ≈5.558， ∴BD=CD －BC=5.558－3.597≈1.96,即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.8.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A 处时接到情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C 处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图28－2－2－13解：设OA 的长为x ，由于点C 在点A 的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得tan30°=312243324=⇒+==⇒+x xx x x x +12. AC 2=x 2+x 2⇒AC=22x x +,∴AC≈46（海里）. 答：该艇的速度是46海里/时.。