解直角三角形及其应用（二）28.2)(5分钟训练一、课前预习)为( C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC1.在△ABC中，已知∠D.6C.5 B.4 A.33，cos∠ADC=BC上，CD=3，AD=BC,且1，在△ABC中,∠C=90°,点D在2.如图28－2－2－5)BD的长是( 则D.1C.2 A.4 B.32－２28图－2－图28－2－2－1角，则线与地面成60°－２，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉3.如图28－2－2 AD=__________.（用根号表示）AC=______，)(10分钟训练二、课中强化)，则等腰三角形的底角的余弦值是( 1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm54.342 D.C. A. B. 9994___________. 的方向为测得点AB在北偏东15°方向，那么点B2.如果由点A测得点tanC.BC长及＝45°，求ACAB＝4，＝6，∠ABC3如图3.28－2－2－，已知在△ABC中，32－－2－28 图点用测C.在地面上－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆2－2AB的高度－4.如图28点又测DD8米到，在BCA角仪测得旗杆顶点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线后退3的的高度.（AB1.6.的仰角∠得旗杆顶AAGE=45°已知测角仪的高度为米，求旗杆位小数）1，结果保留1.7近似值取．图28－2－2－４5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）K]X§Z§X§[来源学§科§网图28－2－2－５:Zxxk.]来源[三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)7－－228 图－2 228图－2－－62.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.）tan50°≈1.2，cos50°≈0.64，sin50°≈0.77（注：①树垂直于地面；②供选用数据：，，AB=200 mBC，AD⊥CD－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥3.某片绿地的形状如图283（精确到1 m≈1.732，）CD=100 m，求AD、BC的长.8 －－2－2 图28BC.和,AC=2,求AB，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°24.如图28－－2－992－图28－2－处测得塔D80的水平距离为米，从楼顶C处及楼底2－2－10，塔AB和楼CD5.如图28－2，米）=1.414 21（参考数据0.0145°和60°.求塔高与楼高.（精确到的仰角分别是顶A3=1.732 05）图28－2－2－106.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海若该船继续向东航,海里内有暗礁6已知该岛周围.方向30°点，测得该岛在北偏东B里到．3 :.(参考数据≈1.732)行,有无触礁危险?请说明理由11－2－－图282决定将到达该景，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，28－2－2－127.如图所在地5米（BC44°减至32°，已知原台阶AB的长为点的步行台阶进行改善，把倾角由.面为水平面）0.01米）（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.122－2－图28－B处北偏西60°方向的－213,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A8.如图28－2－上级命令要对可疑船只进行海里/时的速度向正东方向前进，处发现一艘可疑船只正以24处截住可个小时的航行，恰好在C检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1.疑船只，求该艇的速度362=1.414),=2.449,=1.732,(结果保留整数图28－2－2－13参考答案)一、课前预习(5分钟训练)( 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为1.在△ABCD.6 C.5 B.4 A.3tanB=6. AC=BC·解析：D答案：3，ADC=CD=3，AD=BC,且cos∠C=90°1，在△ABC中,∠,点D在BC上，－2.如图28－2－25)( BD则的长是1－图28－2－2D.1C.2 A.4 B.3AD. 可求出已知一角一边,ADCBC,而BC=AD,在Rt△中,BD解析：求需求3BD=2. ∴ADC=，且cos∠，∴AD=5,∴BC=AD=5.Rt在△ADC中，CD=35C案：答角，则3.如图28处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°－２，在离地面高度5 m－2－2 AD=__________.AC=______，（用根号表示）－2－2－２图283CD103CD5??.AC=,AD=CD=5,Rt解析：在△ABD中∠A=60°，，∴360?60sin?3tan33510答案:33二、课中强化(10分钟训练) :Zxxk.]来源[) ( ，则等腰三角形的底角的余弦值是9 cm、4 cm等腰三角形的两条边长分别是1.54.324 D. C. A. B. 9994，∴其底角的余弦值49、解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、2为. 9C答案：___________.A的方向为2.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点. 助示意图来解决解析：搞清观察方向，可以借75°答案:南偏西15°或西偏南tanC.AC＝6长及，求BC，∠ABC＝45°中，23.如图28－－2－3，已知在△ABCAB＝4，3－22－图28－、AD中已知一角一边，在Rt△ADB可求得AD分析：作BC边上的高，构造直角三角形.CD.中由勾股定理求出BD，在Rt△ADCD, AD⊥BC于作解：过点A ，＝45°△在RtABD中，∠B AD, sinB=∵AB222=4×=sinB=4·sin45°, ∴AD=AB·222.∴BD=AC=6, ADC中，在Rt△22227??62?(2)2AC?AD,DC=由勾股定理得72?22,BC=BD+DC=∴AD2214??. tanC=DC7724.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角点又测得D，在D米到8后退BC，再沿着直线AFE=60°点的仰角为∠A仪测得旗杆顶．3的近（AB的高度.旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆似值取1.7，结果保留1位小数）－2－2－４图28 EF为x米，解：设,∠，AFE=60°在Rt△AEF中3 x=∴AE=EF·tan60°，∠AGE=45°，中在Rt△AGE,=GE=8+x. ∴AE=GE·tan45°33. ,得∴x=4+4x=8+x.解之3≈18.8.∴AE=12+4∴AB=20.4(米).答:旗杆AB高20.4米.5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图28－2－2－５解Rt△AEB与Rt△AEB′,得AE与BE、EB′的关系，解关于x的方程可求得答案.解：设树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E，AE, ∠BAE=2,∠BAE=30°,cot中，在Rt△ABEBE=x－BE332). (x=∴AE=BE·cot∠BAE=(x－2)·－BC. B′AE=45°,AE⊥∵∠32).(xB′E=AE=－∴又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2,33)(m). ∴x=(4+2(x－∴2)=x+2.3) m. 答：树高BC为(4+2)(30分钟训练三、课后巩固1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )图28－2－2－6A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)解析:过D点作AB的垂线交AB于E点，在Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=a,∴AE=a·tanα.在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=a,∴AB=a·tanβ.∴CD=AB－AE=a·tanβ－a·tanα.答案:D2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树约AB,，请你帮他算出树高ACB=50°米，∠CB=10，他测得）7－2－2－28的高度（如图.米为________________.2，cos50°≈0.64，tan50°≈1）（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77:来[7－2－2－图28). :AB=BC·tanC=12(米解析12答案:，AB=200 mCD，A=60°，AB⊥BC，AD⊥－3.某片绿地的形状如图28－2－28所示，其中∠3≈1.732BC的长.（精确到1 m），CD=100 m，求AD、82－图28－2－，E延长AD，交BC的延长线于点解：，，AB=200 mABE在Rt△中，∠A=60°3200(m). tanA=∴BE=AB·200AB?=400(m). AE= 1?cos602 CD=100 m，△CDE中，∠CED=30°，Rt在3100(m), ∠cotCED=∴DE=CD·100CD?=200m.CE=1CED sin?21003≈227(m),－DE=400－AD=AE∴．3200 200≈146(m).CE=BC=BE－－BC.,AC=2,求AB和－如图28－22－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°4.9－2－图28－2AD.解：作三角形的高22 ,AD=AD=CD=中.在Rt△ABD,∠B=30°，△在RtACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴ADAD26?2?.，∴AB=BD=?3030?sintan62.CB=BD+CD=+∴处测得塔米，从楼顶C处及楼底D，塔2－10AB和楼CD的水平距离为80如图5.28－2－2，（参考数据=1.414 2160°和.求塔高与楼高.（精确到0.01米）顶A的仰角分别是45°3 =1.732 05）10－2－2图28－，米，∠BDA=60°中在Rt△ABD,BD=80解：. （米）∴AB=BD·tan60°=803≈138.56 ACE=45°∠，△AEC中,EC=BD=80,Rt).AE=CE=80(米∴.AE≈58.56（米）∴CD=AB－.米138.56塔高与楼高分别为米、58.56答:海方向，前进6处望见某岛C在北偏东60°在－－6.如图282－211,某船向正东方向航行,A若该船继续向东航海里内有暗礁,630°里到B点，测得该岛在北偏东方向.已知该岛周围3≈1.732):参考数据.(请说明理由?有无触礁危险,行11－2－2－图28. 解:继续向东行驶,有触礁的危险D,CD垂直AB的延长线于过点C作. BCD=30°,∴∠∠∵∠CAB=30°,CBD=60°xCD?, 设CD的长为x,则tan∠CBD=BDBD3x. BD=∴3x3CD??.CAB=tan30°tan∠=∴3AD3x6?333. x=∴∴x≈5.2<6.∴继续向东行驶,有触礁的危险.7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）. [来源:]（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－12中，ABC△Rt）如图，在1（解：AC=AB·sin44°=5sin44°≈3.473.473AC3.?≈6.554.AD=ACD中，在Rt△?sin32sin32?－5≈1.55.AD－AB=6.554∴, 1.55米即改善后的台阶会加长中，Rt△ABC（2）如图，在BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597.473AC3.?≈5.558，CD=中，在Rt△ACD ??tan32tan32－3.597≈1.96,∴BD=CD－BC=5.558.1.96米长的一段地面即改善后的台阶多占B方向的13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°28.如图28－－2－上级命令要对可疑船只进行处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，处截住可检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C.疑船只，求该艇的速度362414)=1.=1.732,结果保留整数(=2.449,,13－28图－2－2,45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意点设解：OA的长为x，由于点C在A的北偏西得x3x312x???x??+12.=tan30°x24?x24?322222?xx?,∴AC≈46（海里）AC=x+x. AC=答：该艇的速度是46海里/时.。