6
b a
证明
∫ dx∫
证
x
a
( x − y)
x
n−2
1 b f ( y)dy = (b − y)n−1 f ( y)dy. n − 1∫a
b
∫
b
a
dx∫ ( x − y)n−2 f ( y)dy
a b b a y
y= x
D
= ∫ dy∫ ( x − y)n−2 f ( y)dx
1 ( x − y)n−1 ]b = ∫ f ( y)dy[ y a n −1 1 b (b − y)n−1 f ( y)dy. = n − 1∫a
∫
4. 计算二重积分
(1) I = ∫∫ sgn( y − x )dxdy, D : −1 ≤ x ≤1， ≤ y ≤1 0 D
2
(2) I = ∫∫ ( x2 + y2 − 2xy + 2) dxdy, 其中 为圆域 其中D
D
在第一象限部分. 在第一象限部分 解: (1) 作辅助线 y = x 把与 分成 把与D
x2 + y2 = 1
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫0 dθ ∫
2
π
1
D
1 sin θ + cosθ
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
8
计算 ∫∫ ( x + y )dxdy，其 D 为由圆
2 2 D
x2 + y2 = 2 y， x2 + y2 = 4 y及直线 x − 3y = 0， 所围成的平面闭区域. y − 3x = 0 所围成的平面闭区域 π 解 y − 3x = 0 ⇒ θ 2 =
3
x 2 + y 2 = 4 y ⇒ r = 4 sinθ
6 x 2 + y 2 = 2 y ⇒ r = 2 sinθ
x − 3y = 0 ⇒ θ1 =
π
∫∫ ( x + y )dxdy = ∫ dθ∫
2 2 D
π 6
π 3
π r 2 ⋅ rdr = 15( − 3 ). 2 sin θ 2
4 sin θ
y
D
o
1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y = −x,将D 分为 D1, D2, 利用对称性 , 得
+ ∫∫ xye
D 1
x2 + y2
dxdy
+ ∫∫
D2
xyex
2
+y
2
y y=x o D2 1 x D1 −1 y = −x
dxdy
=∫
1 2 x x d x dy + 0 + 0 −1 −1
x
3. 计算二重积分 (1) D为圆域 (2) D由直线
I = ∫∫ (x + xye
2 D
x2 + y2
) dxdy , 其中:
围成 .
x2 + y2
解: (1) 利用对称性.
I = ∫∫ x d x d y + ∫∫ xye
2 D
D
d xd y
1 2 2 = ∫∫ ( x + y ) dxdy + 0 2 D 1 3 π 1 2π = ∫ dθ ∫ r d r = 0 4 2 0
2
D1, D2两部分 则 两部分,
I ∫∫ dxdy − ∫∫ dxdy
D 1 D2
1 D 1 −1
y
o D2
1x
= ∫ d x ∫ 2 dy − ∫ d x∫
−1 x
−1
1
1
1
x2
0
2 dy = 3
(2) 提示 提示:
I = ∫∫ ( x + y − 2xy + 2) dxdy
2 2 D
y 1
作辅助线 y = x 将D 分成
D , D2 两部分 1
= 2∫∫
D2
(x − y)dxdy + 2∫∫ dxdy
D
D 1 D2 o 1 x
y=x
2 π =L= ( 2 −1) + 3 2 说明: 说明 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
( x + y )dxdy , D : x 2 + y 2 ≤ 1 ∫∫
D
积分区域D关于 关于x 轴均对称 轴均对称, 分析 积分区域 关于 、y轴均对称 被积函数
f ( x , y ) = x + y 关于 均是偶函数，利用对称性 关于x,y均是偶函数 均是偶函数，
去掉绝对值符号. 去掉绝对值符号 解 采用直角坐标 ∫∫ ( x + y )dxdy = 4 ∫ dx ∫
D
1
1− x 2 0
0
( x + y )dy = 8 3
在利用对称性计算二重积分时， 【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积 函数的奇偶性和积分区域的对称性， 函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域 关于坐标轴的对称性， 关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇 偶性. 偶性
1 求 ∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
(0,1)为顶点的三角形. 为顶点的三角形.
解 Q∫ e
− y2
dy 无法用初等函数表示
∴ 积分时必须考虑次序
∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy = ∫ dy ∫ x e
0 0
1
y
2 − y2
dx
=∫ e
0
1
−y
2
2 y y 2 1 −y ⋅ dy = ∫ e ⋅ dy = (1 − ). 0 6 e 3 6
b
a
a
b
7
写出积分 ∫∫ f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
解
x = r cosθ 在极坐标系下 y = r sinθ 所以圆方程为 r = 1, 1 , 直线方程为 r = sinθ + cosθ
1
2
3
2
2
计算积分 I = ∫ dy∫ e dx + ∫ dy∫ e dx.
1 4 1 2 1 2
1 2
y
y x
1
y
y x
y
解 Q ∫ e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序. ∴先改变积分次序.
原式 = I = 1dx
2
y x
y= x
y = x2
∫ ∫
1
x
2
x
e dy
y x
=∫
1
1 2
3 1 x (e − e )dx = e − e. 8 2