一次同余方程
知识探究
前面已经提到，剩余类可以看作特殊 的“数”，剩余类环可以看作是定义了剩 余类加法和剩余类乘法运算的“数集”。 类似于实数集情形，我们也可以在剩余类 环中解方程或方程组。
知识探究
例如，在模6的剩余类环中解 方程[5][x]=[3],这里，[x]是模6 的剩余类环中的未知剩余类。注意 到在模6的剩余类环中，有：
（1）一次同余方程ax≡b(mod n)什么 情况下有解？
（2）有多少解？ （3）有解时如何描述所有的解？
知识梳理
1，先讨论特殊情形，即当（a，n） =1的情形。
我们知道，当（a，n）=1时，存在整 数k，L,使得ak+nL=1,于是n|nL=1-ak,
即aБайду номын сангаас≡1（mod n）.
知识梳理
因此， ax≡b(mod n） ax≡(ak)b=a(kb)(mod n)
典例分析
例2 找出同余方程15x≡7(mod 44)的一个解。
解：设x(mod 44)是方程的一个解，则存在 整 数y使得15x-44y=7,
解此不定方程，很容易得到一个解 （21,7）。 所以x≡21(mod 44)是同余方程 15x ≡21(mod 44)的一个解。
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知识梳理
那么当d|b时，同余方程（1）是否一 定有解呢？
记a=a´d,n=n´d,b=b´d,则(a´,n´)=1. 注意到，ax≡b(mod n) n|ax-b
n´d|(a´x-b)d n´|a´x-b´, 于是同余方程（1）可化简为：
a´x≡b´(mod n´). (2)
知识梳理
由于（a´，n´）=1，由情形1º的讨 论知，同余方程（2）有唯一解 x≡k´b´(mod n´)，此时x=k´b´+n´L,其 中L为任意整数。
知识梳理
用L，d用带余除法： L=dq+r,0≤r≤d-1,则： x=k´b´+n´(dq+r)=k´b´+nq+n´r,
其中0≤r≤d-1,q为整数，于是： x≡k´b´+n´r(mod n),r=0,1,…,d-1.
知识梳理
容易检验，它们都是同余方程（1） 的解。
综上所述，我们得到下面的结论： 一次同余方程ax≡b(mod n)有解，则（a ，n）|b.反过来，当（a，n）|b时，一次 同余方程ax≡b(mod n)恰有（a，n）个解 。
典例分析
例1 解一次同余方程9x≡6（mod 15）.
解：注意到（9,15）=3，且3|6，故同余 方程有三个解。原同余方程可化简为3x ≡2(mod 5)。由于3×2 ≡1(mod 5)，故x ≡2×2=4(mod 5)。所以，原同余方程的 三个解分别为x≡4+5×0=4(mod 15),
x≡4+5×1=9(mod 15), x≡4+5×2=14(mod 15).
x≡kb(mod n). 因此， 同余方程（1）仅有一个解x≡kb(mod n).
知识梳理
2，再讨论（a,n）=d＞1的情景。 若同余方程（1）有解，不妨设 x≡c(mod n)为它的一个解，则 ac≡b(mod n),从而n|ac-b.由于d|a,d|n, 故d|ac,d|ac-b,从而d|ac-(ac-b)=b.这表 明，同余方程（1）有解时，必有d|b.
[5][x]=[3] [5x]=[3] 6|5x-3 5x≡3(mod 6), 因此，原方程可表示成下面含未知 数的同余式：
5x≡3(mod 6).
知识探究
通常，我们把含有未知数的同余 式叫做同余方程。方程5x≡3(mod 6), 是一类形式最简单的同余方程，叫做 一次同余方程。一次同余方程的一般 形式为：
ax≡b(mod n), (1) 其中n为正整数，a，b为整数，且a不 等于零。
知识探究
若存在整数c，使得同余式ac≡b(mod n), 成立，则把x≡c(mod n),叫做一次同余方 程ax≡b(mod n)的解。 例如，x≡3(mod 6)是5x≡3(mod 6)的解。
知识探究
对于一次同余方程我们，我们关心下 面几个问题：