数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。

例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。

随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。

模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。

统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。

在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。

对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。

模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。

本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。

1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。

如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。

在此，总是假设问题的论域是非空的。

为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。

对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。

于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。

所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。

若将普通集的特征函数的概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数。

定义1.1 设U 是一个论域，如果给定了一个映射]1,0[)(]1,0[:∈→x x U A A μμα则就确定了一个模糊集A ，其映射A μ称为模糊集A 的隶属函数，A μ称为x 对模糊集A 的隶属度。

定义1.1表明，论域U 上的模糊集A 由隶属函数A μ来表征，A μ的取值范围为闭区间]1,0[，A μ的大小反映了x 对模糊集A 的从属程度，A μ值接近于1，表示x 从属A 的程度很高，A μ值接近于0，表示x 从属A 的程度很低，使5.0=A μ的点x 称为模糊集A 的过渡点。

当A μ的值域为}1,0{时，A μ退化为普通集的特征函数，模糊集A 蜕变为普通集，所以模糊集是普通集概念的推广。

对于一个特定论域U 可以有多个不同的模糊集，记U 上的模糊集的全体为)(U F ，即}]1,0[:{)(→=U A U F A μ，则)(U F 就是论域U 上的模糊幂集，显然)(U F 是一个普通集，且)(U F U ⊆。

2.模糊集的表示法当论域},{,2,1n x x x U Λ=为有限集时，若A 是U 上的任一模糊集，其隶属度为),,2,1)((n i x i A Λ=μ，通常有如下三种表示方法：1）Zadeh 表示法：n nA A A ni i i A x x x x x x x x A )()()()(22111μμμμ+++==∑=Λ在论域U 中，0)(>iA x μ的元素集称为模糊集合A 的支集。

2）序偶表示法：将论域中的元素i x 与其隶属度)(i A x μ构成序偶来表示A))}((,)),(()),({(,2,21,1n A n A A x x x x x x A μμμΛ=此种表示方法隶属度为0的项可不写入。

3）向量表示法：)}(,),(),({21n A A A x x x A μμμΛ=在向量表示法中，隶属度为0的项不能省略。

当论域U 为无限集时，则U 上的模糊集A 可以表示为⎰=U Ax x A )(μ3.模糊集的运算模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。

定义1.2 设模糊集)(,U F B A ∈，其隶属函数为)(,)(x x B A μμ。

1）若对任意U x ∈，有)()(x x A B μμ≤，则称A 包含B ，记A B ⊆； 2）若A B ⊆且B A ⊆，则称A 与B 相等，记为A B =。

定义 1.3 设模糊集)(,U F B A ∈，其隶属函数为)(,)(x x B A μμ，则称B A B A I Y ,分别为A 与B 的并集与交集；称C A 为A 的补集或余集，它们的隶属函数分别为))(,)(m ax ()()()(x x x x x B A B A B A μμμμμ=∨=Y ))(,)(m in()()()(x x x x x B A B A B A μμμμμ=∧=I)(1)(x x A A C μμ-=其中"",""∧∨分别表示取大运算与取小运算，称其为Zadeh 算子。

并且，并和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算。

1.1.2 隶属函数的确定方法正确地确定隶属函数是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。

隶属函数是对模糊概念的定量描述。

应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。

然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题。

隶属函数的确定过程，本质上应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。

一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。

下面仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。

不同的方法结果会不同，但隶属函数建立是否适合标准，要用实际使用的效果来检验。

1. 模糊统计方法模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是在模糊统计试验的基础上，根据隶属度的客观存在性来确定，所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：1）论域U 。

2）U 中的一个固定元素0x。

3）U 中的一个随机变动的集合*A （普通集）。

4）U 中的一个以*A 作为弹性边界的模糊集A ，对*A 的变动起着制约作用。

其中*∈A x 0或*∉A x 0，致使0x对A 的隶属关系是不确定的。

假设做n 次模糊统计试验，则可计算出0x 对A的隶属频率nA x 的次数*∈=0事实上，当n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0x对A的隶属度，即n A x x n A 的次数*∞→∈=00lim)(μ2. 例证法例证法是Zadeh 在1972年提出的，主要思想是从已知有限个A μ的值来估计论域U 上的模糊子集A 的隶属函数。

3. 指派方法指派方法是一种主观方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集的隶属函数。

如果模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。

所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。

若以实数域R为论域，称隶属函数为模糊分布。

实际中，根据研究对象的描述来选择适当的模糊分布。

偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和”、“中年”等处于中间的模糊现象。

但这些方法所给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。

常用的4. 其他方法实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要是根据问题的实际意义来确定。

例如，在经济管理、社会管理中，可以直接借助已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度。

如果论域U 表示机器设备，在U 上定义模糊集A =“设备完好”，则可以用“设备完好率”作为A 的隶属度。

如果U 表示产品，在U 上定义模糊集A =“质量稳定”，可以用“正品率”作为A 的隶属度。

如果U 表示家庭，在U 上定义模糊集A =“贫困家庭”，则可以用Engel 系数=（食品消费）/（总消费）作为A 的隶属度。

1.2 模糊关系与模糊矩阵1.2.1模糊关系与模糊矩阵的概念模糊关系是普通关系的推广，它描述元素之间关联程度的多少。

定义1.4 设论域V U ,，称V U ⨯的一个模糊子集)(V U F R ⨯∈为从U 到V的模糊关系，记为V U R−→−，其隶属函数为映射 ),(),(),(]1,0[:y x R y x y x V U R R =→⨯μμα并称隶属度),(y x R 为),(y x 关于模糊关系R 的相关程度。

由于模糊关系就是直积V U ⨯的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质。

对于有限论域},{,2,1mx x x U Λ=，},{,2,1ny y y V Λ=，则U 到V 的模糊关系R 可用n m ⨯阶模糊矩阵表示，即nm ij r R ⨯=)(其中]1,0[)(,∈=j i ij y x R r 表示)(,j i y x 对模糊关系R 的相关程度。

定义1.5 设矩阵nm ij r R ⨯=)(，且]1,0[∈ij r ;,,2,1(m i Λ=),,2,1n j Λ=则称矩阵R 为模糊矩阵。

若}1,0{∈ij r ，则模糊矩阵变成布尔（Boole ）矩阵。

1.2.2 模糊等价关系与模糊相似关系定义1.6 若模糊关系)(U U F R ⨯∈满足1)自反性：1),(=x x R μ 。

2)对称性：),(),(x y y x R R μμ=。

3)传递性；R R R ⊆ο（即),()),(),((),(y x y z z x y x R R R R R μμμμ≤∧∨=ο）。

则称R 是U 上的一个模糊等价关系。

其中隶属度),(y x R 表示),(y x 的相关程度。

当论域},{,2,1m x x x U Λ=为有限论域时，U 上的模糊等价关系可表示为n n ⨯阶模糊等价矩阵．定义1.7 设论域},{,2,1m x x x U Λ=，模糊矩阵nn ij r R ⨯=)(，I 为单位矩阵，若R 满足：1)自反性：R I ≤ （即ni r ii ,21;1Λ，，==）。

2)对称性：R R T =（即nj i r r ji ij ,21,;Λ，，==）。

3)传递性；R R R ≤ο （即n j i r r r ij kj ik nk ,21,;)(1Λ，，=≤∧∨=）。

则称R 为模糊等价矩阵。

定义1.8 设论域},{,2,1m x x x U Λ=，模糊矩阵n n ij r R ⨯=)(，I为单位矩阵，若R 满足：1)自反性：R I ≤ （即ni r ii ,21;1Λ，，==）。