极限是微积分的基石一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。

（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。

观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。

n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。

”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。

二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞→lim注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。

“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。

A a n n =∞→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1+n n ，…； （3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…；（5）－1,1，－1，…，n )1(-，…； 注：几个重要极限： （1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 ：)1(0lim <=∞→q q nn2、当∞→x 时函数的极限（1） 画出函数xy 1=的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01lim=+∞→xx一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞→)(lim也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数xy 1=的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞→)(lim也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数xy 1=的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作01lim =∞→x x一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞→)(lim也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即 C C x =∞→lim例2：判断下列函数的极限：（1）x x )21(lim +∞→ （2）xx 10lim -∞→（3）21lim xx ∞→ （4）4lim ∞→x三、练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限 （1）1，41，91，…，21n，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2)1(,,81,41,21nn---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…； （6）0，,32,21--…，11-n ，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…； （8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n ,…， 2、判断下列函数的极限：（1）xx 4.0lim +∞→ （2）xx 2.1lim -∞→（3）)1lim(-∞→x （4）41lim x x ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）xx 45(lim -∞→（7）11lim 2+∞→x x （8）5lim ∞→x一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o==→∞→lim ,01lim.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析例1 求)3(lim 22x x x +→例2 求112lim 231++-→x x x x例3 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.例4 求133lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。

总结：),(lim ,lim *N k x x C C ko kx x x x oo∈==→→)(01lim,lim *N k x C C kx x ∈==∞→∞→例5 求1342lim 232+--+∞→x x x x x分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。

三、练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1）)32(lim 21-→x x ； （2）)132(lim 22+-→x x x（3）)]3)(12[(lim 4+-→x x x ； （4）14312lim 221-++→x x x x（5）11lim 21+--→x x x （6）965lim 223-+-→x x x x （7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）52lim 32--∞→y y y y一、复习引入：函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→)()(lim 0x g x f x x ＿＿＿[]=→)().(lim 0x g x f x x ＿＿＿＿，=→)()(limx g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课：数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。

例如，若{}na ，{}nb ，{}nc 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞→∞→∞→lim .lim ).(lim二.例题：例1.已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞→例2.求下列极限： （1）)45(lim nn +∞→； （2）2)11(lim -∞→n n例3.求下列有限： （1）1312lim++∞→n n n （2）1lim 2-∞→n nn分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限： （1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n （2）)39312421(lim 11--∞→++++++++n n n 说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。

当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。

3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。

练习与作业：1.已知,2lim =∞→n n a 31lim -=∞→n n b ，求下列极限 （1）)32(lim n n n b a +∞→； （2）nnn n a b a -∞→lim3.求下列极限 （1）n n n 1lim+∞→； （2） 23lim -∞→n nn ；（3）2123lim n n n --∞→； （4）1325lim 22--∞→n n n n 。

4.求下列极限: (1). 22321limnn n ++++∞→ (2).11657lim -+∞→n nn (3). 91lim 2-+∞→n n n （4）)1412lim(22n n nn +-+∞→ （5）nn n 31913112141211lim ++++++++∞→ （6）.已知,2lim =∞→nn a 求nn n a n a n -+∞→limABCh第4题无穷等比数列各项的和1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________2、设AB 是长为1的一条线段，等分AB 得到分点A 1，再等分线段A 1B 得到分点A 2，如此无限继续下去，线段AA 1，A 1A 2，…，A n －1A n ，…的长度构成数列,21,,81,41,21n ① 可以看到，随着分点的增多，点A n 越来越接近点B ，由此可以猜想，当n 无穷大时，AA 1+A 1A 2+…+ A n －1A n 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广 1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列 ,,,,,112111-n q a q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为 qa S -=11)1(<q 例1、求无穷等比数列 0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和. 例2、将无限循环小数。