波函数必须满足以下几个条件： 波函数必须满足以下几个条件： 单值、连续、有限、 单值、连续、有限、归一化 连续可微， 连续可微，且一阶导数也连续可微
ψ ψ dV = 1 ∫
*
若一个未归一化的波函数 ψ (r , t ) 其归一化的形式的 ' ψ = cψ ，它们描述同一个微观状态，则归一化系数： 它们描述同一个微观状态，则归一化系数：
p
a
y
α α
x
p
pSinα
α
X
根据单缝衍射公式半角宽： 根据单缝衍射公式半角宽： λ ≤ sin α ≤ λ
a
a
电子通过单缝后，动量在 方向上的改变至少 方向上的改变至少： 电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少：
p sin α ≤ p y ≤ p sin α
电子通过单缝位置的不确定范围 y = a
18-5 物质波（复习） 物质波（复习） 物质波的提出 物质波的实验验证 18-6 不确定关系 不确定关系的物理表述及物理意义 电子单缝衍射 不确定关系的应用 18-7 波函数 自由粒子的波函数 波函数的统计解释 态的叠加原理 作业： 作业：18-23、25、27 、 、 18-8 薛定谔方程 自由粒子的薛定谔方程
其中A为任意常数，E和b均为确定的常数 其中 为任意常数， 和 均为确定的常数 为任意常数 归一化的波函数；几率密度W？ 求：归一化的波函数；几率密度 ？
V x ≥ = 0.6m / s 2me x
可见 Vx << V ,
Vx ≈ 10 V
8
这时可认为电子的位置和动量能同时确定，电子 这时可认为电子的位置和动量能同时确定， 具有确定的轨道，可用经典理论来描述。 具有确定的轨道，可用经典理论来描述。 电子单缝衍射 电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性， 电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性， 并验证了不确定关系。 并验证了不确定关系。
h 再根据德布罗意关系 λ = 德布罗意关系 p
得出角动量量子化条件 h p = n 2π r
h L = rp = n = n 2π
电子驻波
德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。 德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。 光速c是个 是个“ 常数；普朗克常数是个“ 常数。 光速 是个“大”常数；普朗克常数是个“小”常数。
e 4 me = 2 2 = 13.6eV 8ε o h
本例还说明：量子体系有所谓的零点能。 本例还说明：量子体系有所谓的零点能。 因为若束缚态动能为零， 因为若束缚态动能为零，即速度的不确定 范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大， 范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大， 即不被束缚。这与事实相左。 即不被束缚。这与事实相左。
p x ≥
2 x Vx ≥ 5.28 ×10 26 m / s
= 5.28 × 10 29 kg m / s
因为普朗克常数在宏观尺度上很小， 因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此物理量的 不确定性远在实验的测量精度之内。 不确定性远在实验的测量精度之内。 例如： 千克， 例如：电子质量me=9.1×10-31千克，在原子中电子的 × x≤10-10米，则： ≤
h = 16.7nm 2meU
1 . 67 sin( 2α ) = k 2 . 15 o 2α = arcsin 0 . 777 = 51
k = 1, 2 ,
理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引， 理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引， 在晶体中的波长比在真空中稍小（动量稍大）。 ）。经 在晶体中的波长比在真空中稍小（动量稍大）。经 修正后，理论值与实验结果完全符合。 修正后，理论值与实验结果完全符合。
E = mc
2
物质波的实验验证 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶， 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶， 电子束被散射。 电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和 衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。 衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。 A d αα G M
e E= 2 2me r 4πε o r
2
2
基态能应满足： 基态能应满足：
dE = 0 dt
2 e2 + =0 3 2 me r 4πε o r ε oh2 10 r = 0.53 ×10 m 由此得出基态氢原子半径： 由此得出基态氢原子半径： o = 2 πe me
基态氢原子的能量： 基态氢原子的能量： E min 与波尔理论结果一致。 与波尔理论结果一致。
Vx ≥
2me x
= 0.6 × 106 m / s
结果表明： 结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身 的大小可比，甚至还大。 的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可 用不确定关系具体说明。 用不确定关系具体说明。
例如：在示波管中电子的 ≤ 例如：在示波管中电子的x≤10-4米，V≈107米则： ≈ 米则：
在微观上，如电子 在微观上，如电子m=9.1×10-31Kg，速度 × ，速度V=5.0×107m/s, × 对应的德布罗意波长为： 对应的德布罗意波长为：
λ = 1 .4 × 10 nm
2
德布罗意提出：把原子定态与驻波联系起来， 德布罗意提出：把原子定态与驻波联系起来，即把能量 量子化与有限空间驻波的波长和频率联系起来。 量子化与有限空间驻波的波长和频率联系起来。如电子 绕原子一周，驻波应衔接， 绕原子一周，驻波应衔接，所以圆周长应等于波长的整 数倍。 数倍。 2π r = nλ
'
∝
c=
1
∫
∝
|ψ | dV
2
态的叠加原理 用电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致 了在叠加态下观测结果的不确定性。 了在叠加态下观测结果的不确定性。
P 1
S
1
A
D
2
P P2 B
单缝1使通过它 单缝 使通过它 的电子处于ψ 的电子处于ψ1态； 单缝2使其处于 单缝 使其处于 ψ 2态 。 当双缝同时打开时， 当双缝同时打开时， 一个电子同时处在 态和ψ ψ1态和ψ2态。双缝 同时诱导的状态是 它们的线性组合态。 它们的线性组合态。
h 代入德布罗意关系： λ 代入德布罗意关系： = p
2 pλ p y ≥ a
得出： 得出：
y p y ≥ 2h y p y ≥ / 2
上述讨论只是反映不确定关系的实质， 上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的 量值关系。量子力学严格证明给出： 量值关系。量子力学严格证明给出：
不确定关系的应用 在原子尺度内， 在原子尺度内， y p y 是个良好的近似。 是个良好的近似。
解释谱线的自然宽度 原子中某激发态的平均寿命为 t = 10 s 普朗克 能量子假说
8
t E ≈ 不确定关系 2 h = 2π
E = hν
谱线的 自然宽度
它能解释谱线的自然宽度
18-7 波函数 自由粒子的波函数 一个自由粒子有动能E和动量 和动量P。 一个自由粒子有动能 和动量 。对应的德布罗意 波具有频率和波长： 波具有频率和波长： h E
关
证
电 子 的 衍 射 实 验
我国已制成80万倍的电子显微镜， 我国已制成 万倍的电子显微镜， 万倍的电子显微镜 分辨率为14.4nm.n， 能分辨大个 分辨率为 ， 分子有着广泛的应用前景。 分子有着广泛的应用前景。
1993年，观测到“量子围栏”。见FPCAI软件 年 观测到“量子围栏” 软件
18-6 不确定关系 不确定关系的物理表述及物理意义
h = 2π
x p x ≥ 表示粒子在x方向上的位置的不确定 x表示粒子在 方向上的位置的不确定 表示粒子在 2
范围， 表示在x方向上动量的不确定 范围，px表示在 方向上动量的不确定 范围，其乘积不得小于一个常数。 范围，其乘积不得小于一个常数。 若一个粒子的能量状态是完全确定的， 若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即E=0 ，则粒子停留在该态的时间为 无限长， 无限长， t=∞ 。 ∞
电子不仅在反射时有衍射现象， 电子不仅在反射时有衍射现象， 系 明 的 了 汤姆逊实验证明了电子在穿过 正 德 金属片后也象X 金属片后也象 射线一样产生 确 布 衍射现象。 衍射现象。 性 罗 戴维逊和汤姆逊因验证 。 意 电子的波动性分享1937 电子的波动性分享 年的物理学诺贝尔奖金 由于电子波长比可见光波长小10 数量级， 由于电子波长比可见光波长小 -310-5数量级， 从而可大大提高电子显微镜的分辨率。 从而可大大提高电子显微镜的分辨率。 FPCAI
ψ = C1ψ 1 + C2ψ 2
处于两态的几率分别为： 处于两态的几率分别为：
| C1ψ1 |2
| C2ψ2 |2
因为
ψ = C1ψ 1 + C2ψ 2
P =| C2ψ2 |2 2
P =| C1ψ1 |2, 处于两态的几率分别为： 处于两态的几率分别为： 1
P 双缝同时打开时，电子的几率分布为： 双缝同时打开时，电子的几率分布为：
≈ , E t ≈
估算氢原子可能具有的最低能量 的球内， 电子束缚在半径为r 的球内，所以 x = r 按不确定关系 p ~ / r
p ≈ p ≈ / r
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量： 当不计核的运动，氢原子的能量就是电子ห้องสมุดไป่ตู้能量：
p e E= 2me 4πε o r
2
2
代入上式得： 代入上式得：
ν=
或者用角频率和波矢量表示： 或者用角频率和波矢量表示： 单色平面波的复数形式为： 单色平面波的复数形式为：
h
λ=
p
p k=
的本征态。 称它为在坐标表象中动量为 p 的本征态。
波函数的统计解释
用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一 波函数模的平方| ψ (r , t ) | 代表时刻 t ，在r 处