的重要程度用 w1, w2, …, wn 表示，符合归一化条
件 w1 + w2 + ... + wn=1。决策的目的是要找出其中的
最优方案，记为 Amax 。
9
上述多属性决策问题可以写成下面的矩阵(决策矩阵)
表示形式:
x11 x D 21 xm1 x12 x22 xm 2 x1n x2 n . xmn
这里的 Uj (· ) 表示第 j 个属性的指标值或效用函数值。
12
虽然理想解实际上并不存在，但这一概念在多属
性决策的理论和实践中都十分重要。关于多属性决策
的折衷解和折衷模型便是以它为基础建立起来的。 负理想解 (negative-ideal solution) 与理想解相反， 负理想解的结果都是由最坏的属性指标所构成。它也 许是一个可行解，也许是一个非可行解。其数学表示 式为 A- = ( c1-, c2-, ..., cj-, ..., cn- ) , 式中 cj- = min i Uj (xij), j =1, 2, ..., n.
由矩阵理论可知，n 是 M 的唯一非零的也是最大的特
征根，记为 max ，而 w 是 n 所对应的特征矢量。
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虽然权重矢量 w 是未知的，但可通过两两比较的方
法得到 M 的一个估计矩阵 M’， M’ 也被称为判断
矩阵。然后求解 M’ 的最大特征根 max ，即求解满
足以下用行列式形式表示的联立方程的最大解 ：
5
未知的。前者的约束条件隐含于准则之中，不直接起
限制作用；后者的约束条件独立于准则之外，是决策
模型中不可缺少的组成部分。简而言之，前者是对事
物的评价选择问题；后者是对方案的规划设计问题。 由于决策问题中属性水平和目标水平的表示方式 可以是定量的，即数字的，也可以是定性的，即语言 的；其数据结构可以是精确的，即刚性的，也可以是 不确定的，即柔性的。模糊集理论已经被广泛地应用
xij xij
2 x ij i 1 m
,
( 4.1)
其特点是所有的属性都具有相同的矢量单元，但 不同属性的测量尺度是不等的。
18
比例转换法：该方法对于不同类型的属性采 用不同的转换方式。对于收益类属性指标，其转 换公式为
xij xij x
max j
(4.2)
或
xij xij x min j x
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其转换方式见图 4.1。
对于成本类属性
最高 0 很高 1 高 3 3 低 平均 5 5 平均 对于收益类属性 低 7 7 高 很低 最低 9 10 9 很高 10 最高
0 1 最低 很低
图 4.1 定性指标向定量指标转换的两极比例方法
16
（2） 属性指标的归一化 因为不同指标的数值单位通常是不同的，如果不 对属性指标的数值做归一化处理，属性与属性之间便 没有可比性。虽然不是所有的方法都要求数值归一化，
针对某一事物或现象确定的努力方向。
与上述概念相对应，多准则决策 ( Multiple Criteria Decision Making, 简称 MCDM )的研究领域 被划分成多因素决策 ( Multiple Attribute Decision Making, 简称 MADM ) 和多目标决策( Multiple Objective Decision Making, 简称 MODM )两个主要 部分。其共性在于两者对事物好坏的判断准则都
14
4.1.2 属性指标的量化与转换
在对决策方案的属性指标进行综合运算之前， 首先要解决下面的两个问题： （1）语言类属性指标的量化 在多属性决策问
题中，决策事物的属性指标通常有定量和定性两种 不同的表示形式。为了便于对属性指标进行必要的
数学处理，普遍采用 MacCrimmon 提出的两极比例
方法 (Bipolar Scaling) 将定性指标转换为定量指标。
4
不是唯一的，且准则与准则之间常常会相互矛盾。
如选购一辆汽车时要求高性能往往会导致高价格，
事情很难两全。此外，不同的目标或属性通常有不
同的量纲，因而是不可比较的。如汽车的速度一般 采用每小时公里来度量，而汽车的价格单位却是每 辆元或万元，两者必须经过某种适当的变换之后才 具有可比性。而多属性决策与多目标决策之间的差 别在于：前者的决策空间是离散的；后者是连续的。 前者的选Hale Waihona Puke 余地是有限的、已知的；后者是无穷的、
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与理想解一样，负理想解也是折衷模型算法的参考 基准之一。 折衷解 (compromise solution) 一个解被称为折衷 解如果它是距离理想解最近或距离负理想解最远的 可行解。 一般来说，以理想解为基准导出的折衷解与以 负理想解为基准导出的折衷解是不相同的。决策者 可根据情况选择二者之一，或将二者结合在一起。
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特征矢量法：该方法由 Saaty 于1977 年提出的。设 多属性决策问题中的权重矢量为w = (w1, w2, …, wn )T， 根据属性 Ci , Cj 的权重比 wi / wj， i, j =1, 2, …, n, 可构造下面的权重比矩阵 M :
w1 / w1 w1 / w2 w1 / wn w / w w / w w / w 2 1 2 2 2 n M , wn / w1 wn / w2 wn / wn
7
4.1
多属性决策基础知识
4.1.1 多属性决策的基本概念
4.1.2 属性指标的量化与转换
4.1.3 属性权重的分配 4.1.4 多属性决策的基本方法
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4.1.1 多属性决策基础知识
我们在第一章引言中描述过经典多属性决策的 基本模型，即给定一组可能的方案 A1, A2, ..., Am ,
伴随每个方案的属性记为 C1, C2, ..., Cn 。各属性
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其中，矩阵元素 wii =1, wij = 1/ wji , 且 wij = wik / wjk , M 被称为相容矩阵。将权重矢量 w 右乘 M，则有
w1 / w1 w / w Mw 2 1 wn / w1 w1 / w2 w2 / w2 wn / w2 w1 / wn w2 / wn wn / wn w1 w1 w w 2 n 2 nw wn wn
理想解 (ideal solution) 一个解被称为理想解如果 他所提供的结果在所有的属性水平上都是该属性可能
具有的最好的结果。显然，理想解是一个非可行解。
否则，决策问题便不复存在。其数学表示式为
A+ = ( c1+, c2+, ..., cj+, ..., cn+ ) ,
式中 cj+ = max i Uj (xij), j =1, 2, ..., n,
由于多属性指标之间的相互矛盾与制衡，因而不 存在通常意义下的最优解。取而代之的是有效解、满 意解、优先解、理想解、负理想解和折衷解，它们被 分别定义如下：
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有效解 (efficient solution) 一个可行解被称为有
效解如果没有任何其他可行解能够实现在所有属性
水平上提供的结果都不比它差，且在至少一个属性
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到这两类模型之中，从而形成了模糊多属性决策 ( Fuzzy MADM, 简称 FMADM ) 和模糊多目标决策
( Fuzzy MODM, 简称 FMODM ) 两个在现阶段极其活
跃的研究领域。 本书第一节介绍经典多属性决策的主要概念、 基本运算和决策程序，第二节说明模糊多属性决策的 基本原理。第三节讨论模糊多属性决策的具体方法。 这里涉及的决策者仅限于一个人，由多个决策者存在 的模糊多属性群决策问题将在第五章另作讨论。
有混淆，容易被误解。直到 20 世纪 70 年代末和 80
年代初，这三个基本概念之间的差别开始被注意并逐
渐统一了认识，对他们的使用才变得规范起来。
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所谓准则是决策事物或现象有效性的某种度量， 是事物或现象评价的基础。它在实际问题中有两种
基本的表现形式，即属性与目标。其中，属性是伴
随着决策事物或现象的某些特点、性质或效能，如
第四章
模糊多属性决策
4.1 多属性决策基础知识
4.2 模糊多属性决策基本原理
4.3 模糊多属性决策主要方法
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在关于多准则决策的文献中常见的三个名词或 术语是：属性 (attributes)，目标 (objectives)，和准则 (criteria)。它们在多准则决策发展的早期阶段并没有 一个为研究者普遍接受的明确定义，许多作者将之视 为可替换性名词而在文献中不加区分的使用，因而时
汽车的最高时速，飞机的最大飞行高度，产品的成
本与价格，工厂对环境的污染或城市的消费指数等。 每一种属性应该能提供某种测量其水平高低的方法。 而目标是决策者对决策事物或现象的某种追求，如 制造商希望获得产品的最大利润，贸易公司希望最
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大限度的扩展国外市场，或政府希望尽可能的减
轻环境污染等。一个目标通常表明决策者在未来
x max xij j x
max j
x
min j
.
(4.5)
20
4.1.3 属性权重的分配
在经典的多属性决策中，常用的权值分配方法
主要有：特征矢量法 ( Eigenvector )，加权最小二乘
法 ( Weighted least square )，熵法 ( Entropy )，和多 维优先分析线性规划法 ( LINear programming techniques for Multidimensional Analysis of Preference, 简称 LINMAP )。其中，前二者适用于决策矩阵未知 的情况；后二者适用于决策矩阵已知的情况。现仅 就特征矢量法和熵法分别介绍如下。