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方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS)
（1）：已知两边- 找夹角 （SAS)
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找是否有直角 (H
找L这) 边的另一个邻角(ASA)
已知一边和 一边一角--
找这边的对角 (AAS)
它的邻角
找一角(AAS)
已知一边和它的 已知角是直角，找一边(
∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90° 则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°， 所以DC⊥BE.
• （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两 个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两 个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
• （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三 角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质 或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
• （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在 全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形， 通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
△ABC≌△DCB吗?说说理由
探一探
B
C
图（1）
辨一辨
2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，
CD与BE相交于点O，且AE=AD,AB=B AC.
用一用 △ABE≌△ACD吗?说说理由.
O
D
A
E
理一理
C 图（2）
3.如图（3），若OB=OD，∠A=∠AC，
D
作 业 △ABO≌△CDO吗?说说理由.
对角
HL)
找两角的夹边(ASA)
(3):已知两角---
找夹边外的任意边(AAS)
练
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6
运用全等三角形，可以证明线段相等、线段 的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系 等常见的几何问题.可以适当总结证明方法
1． 证明线段相等的方法
• (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. • (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上
（全等三角形对应角相等）
∴ △APC ≌△BPC （ SAS） ∵∠A=55°（已知） ∴∠B=_5_5_°__（等量代换）
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复习题11
S△ABF = S△BDF S△ABD = S△AFD S△BDC = S△AFD S△ABE = S△DEF
△ABD ≌ △CDB
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13
探一探
想一想
AD
1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则
的点到角两边的距离相等. • (3) 等式性质.
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2． 证明角相等的方法
• (1) 利用平行线的性质进行证明. • (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. • (3) 利用角平分线的判定进行证明. • (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. • (5) 对顶角相等.
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3． 证明两条线段的位置关系（平 行、垂直）的方法.
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
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2
二.角的平分线：
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB,
点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
• 可通过证明两个三角形全等，得到对应角 相等，再利用平行线的判定或垂直定义证 明.
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4． 辅助线的添加:
• (1)作公共边可构造全等三角形； • (2)倍长中线法； • (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等
三角形； • (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等
三角形.
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5. 证明三角形全等的思维方法:
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2.如图，PA=PB，PC是△PAB的 角分线，∠A=55°.求：∠B的度数
解：∵PC是△ APB的角平分线
P
∴∠APC= ∠BPC（角平分线定义）
在 △APC和△BPC 中
__P_A_=_P__B_(已__知) _
__∠_A__P_C_=_∠__BPC_
A
∴ ∠A=∠B
C
B
第2题
__P_C__=_P_C_(_公_共边_)
O
B
图（3） C
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想一想 探一探
探一探
人教版八年级《数学》上册
D
4、如图：AB=CD，BF=DE，
C
∠DEC= ∠BFA=90°
△ABF与△CDE 全等吗？
FE
辨一辨
A
B
用一用
A
5、如图：AC=AD,AB=AB,
理一理
且 ∠B=∠B
△ABC与△ABD全等吗? \
作业
==
B
C
D
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15
三.练习：
全等三角形的复习
复习课
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1
一.全等三角形：
1：什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。
2：全等三角形有哪些性质？
（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
2。全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重
要方法之一，证明时
①要观察待证的线段或角，
在哪两个可能全等的三角形中。
②分析要证两个三角形全等，
已有什么条件，还缺什么条件。
③有公共边的，公共边一定是对应边，
有公共角的，公共角一定是对应角，
有对顶角的，对顶角也是对应角。
总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。
1、如图：在△ABC中，∠C =900，
AD平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 c 。
D
A
B E
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16
类型一、全等三角形的性质和判定
• 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如 图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图 形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
• (1)请找出图2中的全等三角形，并给予证 明（说明：结论中不得含有未标识的字 母）； (2)证明：DC⊥BE .
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• 解：（1）△BAE≌△CAD 证明：∠BAC＝∠EAD＝90° ∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE 即 ∠BAE＝∠CAD 又AB＝AC，AE＝AD， △ABE≌△ACD（SAS） （2）由（1）得∠BEA＝∠CDA, 又∠COE＝∠AOD
∴点Q在∠AOB的平分线上．
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3
知识回顾： 包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：
1.定义（重合）法；
解题 2.SSS；
中常 3.SAS；
不包括其它形
用的 4种
4.ASA；
状的三角形
方法 5.AAS.
直角三角形 全等特有的条件：HL.
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4
证明方法
1。证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论
，选择恰当的判定方法