5.4.1 反射
y
2 1 3
沿x轴反射
1 0 0 0 -1 0 0 0 1
2' 1'
x 3'
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.4.1 反射
y
2 2' 3'
-1 0 0 0
1 0 0 1 沿y轴反射
0
3
1
1'
x
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.3.6实现
P154~P155
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.4 2D 其他变换
反射：产生对象的镜像
–沿X轴反射
–沿Y轴反射 –沿原点反射 –沿y=x
45度方向直线进行反射
错切:使对象发生形变
–沿X方向错切
–沿Y方向错切
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
2D变换的矩阵表示
变比变换
x' sx 0 y' = 0 sy 1 0 0
0 0 1
x y 1
P'=S(sx,sy) .P
2005 fall , Designed by通用变换方程：
例:沿指定方向缩放
cos-θ -sin-θ 0 sin-θ cos-θ 0 0 0 1 Sx 0 0 Sy 0 0 S2 0 0 1 cosθ -sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1
y
θ
S1
x
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
cos-45 -sin-45 0 sin-45 cos-45 0 0 0 1
5.1.1
平移
平移
– 定义： 对象沿直线运动产生的变换
– 平移是一种钢体变换
– 参数: 平移向量(tx, ty)
– 公式:
x'=x+tx
y'=y+ty
y
P'
P
x
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.1.1
齐次矩阵表示:
2D平移
使用列向量表示坐标位置 1 0 tx
5.1.3
齐次矩阵表示
缩放
sx 0 0 0 sy 0 0 0 1
x P= y 1
x' P'= y' S= 1
P' = S P
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.1. 3 缩放
针对任意点（xf,yf）缩放
•将绝对坐标转换为相对坐标 x''=x-xf y''=y- yf •缩放 x'''= x'' *sx y'''= x'' *sy
5.1. 2
旋转
针对任意点（Xr,Yr）旋转
x'= xr＋(x－xr)*cosθ － (y－yr)*sinθ y'= yr＋(x－xr)*sinθ ＋(y－yr)*cosθ

旋转变换的计算效率 改进：
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
旋转是一种钢体变换
y
θ
θ
x
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.1.3
变比
缩放
–定义： 改变对象尺寸的变换 –参数：缩放系数(Sx, Sy), 固定点(Xf,Yf) –公式:
针对坐标原点缩放 x'=x*Sx y'=y*Sy
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.4.1 反射
y 3'
2' 1' 1 2
沿(0,0)反射
x 3
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
T(tx2,ty2) .T(tx1,ty1)=T(tx1+tx2, ty1+ty2)
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.3.2 连续旋转
(θ1), P'
(θ2)
= R(θ2)
. R(θ1) . P
R(θ 2) .R(θ 1) = R(θ 1+θ 2)
x
x'
P= y 1
P'= y' 1
T= 0 1 ty 0 0 1
y
P'
P' = T.P
P
x
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
2D平移
y
100 50 50 100
举例
y
120
平移向量
(-20，20)
70
x
30
80
x
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
组合变换的通用变换矩阵
x' rsxx rsxy trsx y' = rsyx rsyy trsy 1 0 0 1
x y 1
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
连接特性
A*B*C = (A*B)*C = A*(B*C) A*B B*A
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
第5 章
基本变换 矩阵表示
二维几何变换
其他特殊变换
复合变换 坐标系间的变换 变换的光栅方法
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.1 基本变换
几何变换的定义：
– 改变对象坐标描述的变换称为几何变换，
例如改变对象的方向、尺寸和形状。
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.3.3 连续变比
(sx1,sy1),
(sx2,sy2)
P'
= S(sx2,sy2)
.S(sx1,sy1) .P
S(sx2,sy2) . S(sxn,syn) = S(sx1.sx2, sy1.sy2)
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
0 0 1
P'= R. P
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.1.2 旋转
y
(x',y')
r
θ Φ
(x,y)
(xr,yr)
x
绕任意点(xr,yr)旋转
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.1. 2
旋转
针对任意点（xr,yr）旋转
5.3.4 针对任意点变换
方法
•平移对象使基准点移动到坐标原点
•针对原点做指定变换 •反向平移对象使基准点回到原位置
举例
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
1、 针对固定点缩放
1 0 xf 0 1 yf 0 0 1 sx 0 0 0 sy 0 0 0 1
y x
y x
y x
y x
(xf,yf)
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
3、 针对任意方向变换
方法
•旋转对象使指定方向与坐标轴方向重合
•针对坐标轴方向做指定变换 •反向旋转使方向回到原方向
例
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.2 2D变换的矩阵表示
点
(x,y)
X y 1
2D
图形 (x1,y1)，(x2,y2)，...，(xn,yn)
X1 y1 1 x2 y2 ... xn ... yn 1 ... 1
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.2 2D变换的矩阵表示
变换矩阵
1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1
cos45 -sin45 0 sin45 cos45 0 0 0 1
1.5 0.5 M= 0.5 1.5 0 0
y
1
(1,1)
S1=1, S2=2
(0.5,1.5)
(1.5,0.5)
y
(2,2)
θ=45
s1
1
x
x
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
几何变换的基本原理
几何变换：
–变换图形就是要变换图形的几何关系，同
时保持图形的原拓扑关系
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.1 二维基本变换
基本几何变换的类型
– 平移
– 旋转
– 变比
2005 fall , Designed by fangcl .UESTC
5.3 复合变换
连续变换
– 连续平移
– 连续旋转
– 连续变比
针对任意点的变换 针对任意方向的变换 实现