二次函数考点分类复习知识点一：二次函数的定义考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。

备注：当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数． 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ；④y=－3x ；⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

课后练习：（1）下列函数中，二次函数的是（ ）A ．y=ax 2+bx+cB 。

2)1()2)(2(---+=x x x y C 。

xx y 12+= D 。

y=x(x —1) （2）如果函数1)3(232++-=+-mx xm y m m 是二次函数，那么m 的值为知识点二：二次函数的对称轴、顶点、最值1、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点2、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ，）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（ ， ）。

二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k= 练习：1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .5．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

6．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.。

7．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。

知识点三：函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质 1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。

2．抛物线y=2x 2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2+8x －2； （3）y=－14 x 2+x －4知识点四：函数y=a(x －h)2的图象与性质 1．填表：2．已知函数y=2x 2,y=2(x －4)2，和y=2(x+1)2。

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。

可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x －4)2和y=2(x+1)2？3．试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移23 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

4．试说明函数y=12 (x －3)2的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

知识点五：二次函数的增减性1.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

2.已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为 。

3.已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .4.已知二次函数y=－12 x 2+3x+52 的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3<x 1<x 2<x 3，则y 1,y 2,y 3的大小关系为 . 知识点六：二次函数的平移技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。

将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减6.抛物线y= －32 x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

7.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。

8.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

知识点七：函数的交点11.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。

12.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。

知识点八：函数的的对称13.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为。

14.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则a= b= c=知识点九：函数的图象特征与a、b、c的关系①a的符号判别---开口向上⇔ a 0；开口向下⇔ a 0；②c的符号判别---由抛物线的与Y轴的交点来确定：若交点在y轴的正半轴⇔c 0；若交点在y轴的负半轴⇔c 0；若交点在原点⇔c 0；③b的符号由对称轴来确定：（左同右异)对称轴在Y轴的左侧⇔ a、b同号；对称轴在Y轴的右侧⇔a、b异号。

④a+b+c的符号由x=1时的点的位置决定;a－b+c的符号由x=－1时的点的位置决定点（1，a+b+c）在x轴上方⇔a+b+c 0点（1，a+b+c）在x轴下方⇔a+b+c 0点（-1，a-b+c）在x轴上方⇔a-b+c 0点（-1，a-b+c）在x轴下方⇔a-b+c 0⑤b+2a的符号由对称轴与1的大小关系确定；b－2a或2a-b的符号由对称轴与-1的大小关系确定⑥△的符号由抛物线与x轴的交点个数确定⎪⎩⎪⎨⎧△＜个交点=△个交点1△＞个交点2轴有抛物线与x1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（）A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<02.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：①c>0；②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（）A．①②B．①④C．①②③D．①③⑤3.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）4、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4知识点十：二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 知识点：二次函数与x 轴有交点，y=0,；与y 轴有交点，x=0.1. 如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可） 2. 二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4. 若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是 5. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，（1）根据图象写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2） 根据图象写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3） 若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．6. 已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．7. 已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）8. A ．无实数根 B ．有两个相等实数根 9. C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根10. 已知二次函数y=x 2+x+m,当x 取任意实数时,都有y>0,则m 的取值范围是( ) 11. A.m≥14; B.m>14; C.m ≤14; D.m<1412. 已知关于x 的函数y ＝（m －1）x 2＋2x ＋m 图像与坐标轴有且只有2个交点，则m ＝13. 已知抛物线m mx x y 222--=的图象与x 轴有两个交点为),0,(1x )0,(2x ，且52221=+x x ，m=-11yx y33 22 11 4 1- 1- 2-O14.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.15.如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（-1，0）（0，1.5）（1）求此抛物线的函数关系式。

（2）若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求三角形ABP面积的最大值。

（3）问：此抛物线位于x轴的下方是否存在一点Q，，使△ABQ的面积与△ABP的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。

知识点十一：函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k 求解。

2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。

3．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

反馈：6．已知x ＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。