(c)
2 ， 式（c）为挠度w的变系 其中 = 数微分方程 。对于薄板厚度的不同变化规律， 该微分方程的系数取不同的函数形式，要求 用不同的方法求解。
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （2）厚度沿某一方向线性变化
薄板厚度沿着某一方向线性变化的情况虽然 是一种特殊情况，但却是工程上比较常见的。
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （2）厚度沿某一方向线性变化 3 Et0 如图，假定薄板y=b/2处厚度为t0,有 D0 12 1 2
（b ）
式（b）为变厚度矩形薄板的平衡微分方程
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （1）平衡微分方程 进一步改写：
D D Dw 2 w 2 w Dw x x y y 2 D 2w 2 D 2w 2 D 2w (1 )( 2 2 2 2 2 )q x y xy xy y x
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （1）变厚度矩形薄板问题背景介绍二 长期以来，有关等厚度板的研究非常多, 而 涉及变厚度板则较少。变厚度矩形板弯曲间 题的研究最早可追溯到R.G.Ossion(1 9 3 4 年)对一类线性变厚度板给出了级数解,对阶 梯形板给出了统一解式, 并以此来逼近连续 的单向变厚度板。自60 年代以来, 由于计算 机的应用, 伴随有限元法的兴起, 使计算力 学得到飞跃发展, 一般的板间题均可用有限 元法和差分法解之, 但误差较大, 求解不甚 经济。
2 M xy 2 M y 2 M x 2 2 q0 2 x xy y
2 得到： 2 x
2w 2 w 2 2w D D 2 2 2 1 x y x y x y 2 2 y 2 w 2 w 2 2 q 0 x y


2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （1）根据等厚度矩形薄板的平衡微分方程推 导变厚度矩形薄板平衡微分方程
（2）考察厚度沿某一方向线性变化的情况
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （1）平衡微分方程 等厚度矩形薄板弯矩、扭矩与挠度w的关系：
2w Et 3 2 w 2w 2w Mx 2 D 2 2 2 2 y y 12 1 x x 2w Et 3 2 w 2w 2w My 2 D 2 2 2 2 x x 12 1 y yy D 1 12 1 xy xy
（D=常数）
等厚度矩形薄板平衡微分方程：
Mx 2 2 q0 2 x xy y
2
2 M xy
2 M y
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （1）平衡微分方程 等厚度矩形薄板
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （1）变厚度矩形薄板问题背景介绍三 近几年来, 利用求解对象的特征, 采用半解 析法来解决问题的途径, 愈加受到推崇。目 前有关变厚度矩形板的专门方法, 大多针对 单向变厚度、两对边简支的矩形板(称Levy 型板) , 其中有限条法较为有效, 然而, 在 具体实施中较繁琐。以下简单介绍几种常见 而有效的针对变厚度矩形薄板问题的解法。
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （2）现有解法的介绍一 a.变厚度矩形薄板的GD解法 基本思路：该方法从泰勒级数出发，用全域内 节点函数的加权和来表示该点的各阶导数值。 好处：GD法便捷，思路明确，是求解变厚度 薄板弯曲问题、解决工程实例问题的一种有力 工具。
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （2）现有解法的介绍二 b.变厚度矩形薄板弯曲间题的插值矩阵法 单向变厚度型板的弯曲问题, 用单三角级数 把矩形板的控制方程化成常徽分方程边值间 题, 然后采用两点边值问题的擂值矩阵法求 解板的方程。 实践结果表明,用该方法求解变厚度板的方法， 简洁,精度高，通用性强, 计算稳定, 收敛也 快，使用方便。
?
变厚度矩形薄板
假设：1.薄板厚度变化比较平缓；2.薄板中 面仍然是平面。 则Mx,My,Mxy的表达式仍然成立，但弯曲刚度 D变为x和y的函数。
即： D=常数 D=D(x,y)
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （1）平衡微分方程 将D=D(x,y)带入Mx,My,Mxy的表达式，再将 Mx,My,Mxy带入薄板平衡方程：
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （2）现有解法的介绍三
• 针对矩形薄板的动力响应问题，提出了一种有效 的方法：DQ半解析法 . • 本方法针对矩形薄板的振动控制微分方程，在空 间域采用DQ法，即微分求积法在时间域取级数， 采用时域配点的方法，得到求解以板各节点动力 响应位移场为全部待定参数的线性方程组，只需 一次求解该方程组即得到全部待定参数，进而得 到各节点的动力响应位移场，再由高阶Lagrange 插值得到全域内的动力响应位移场．该法和之前 提到的GD法类似。
1.变厚度矩形薄板问题的发展
2.变厚度矩形薄板问题平衡微分方程 3.变厚度矩形薄板问题的求解 4.变厚度矩形薄板问题的DQ解法
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展
（1）变厚度矩形薄板问题背景介绍 （2）现有解法的介绍
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （1）变厚度矩形薄板问题背景介绍一 实际工程中为了提高材料的利用率，减轻结 构的自重等需要，很多情况下要根据外界载 荷和支撑情况而使板的厚度作相应变化，变 厚度矩形薄板就是其中用的较多的一种工程 结构，因而研究变厚度矩形薄板的弯曲问题 有着重要的理论与实际意义。