（苏教版）高中数学选修1-1（全册）精品学案汇总_1.1命题及其关系1．1.1四种命题命题的概念观察下列语句的特点:(1)这幅画真漂亮！(2)求证3是无理数;(3)菱形是平行四边形吗？(4)等腰三角形的两底角相等;(5)x>2 012;(6)若x2＝2 0122, 则x＝2 012.问题: 在这些语句中哪些能判断出真假, 哪些不能判断出真假．提示: (1)(2)(3)(5)不能判断真假; (4)(6)能判断真假．1．能够判断真假的语句叫做命题．2．命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的命题.假命题：判断为假的命题.观察下列四个命题:(1)若两个三角形全等, 则这两个三角形相似; (2)若两个三角形相似, 则这两个三角形全等; (3)若两个三角形不全等, 则这两个三角形不相似; (4)若两个三角形不相似, 则这两个三角形不全等．问题: 命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？ 提示: 命题(1)的条件是命题(2)的结论, 且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定;对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．1．四种命题的概念(1)如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件, 那么这两个命题叫做互逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 那么这两个命题叫做互否命题．(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 那么这两个命题叫做互为逆否命题．2．命题的四种形式原命题: 若p , 则q ; 逆命题: 若q , 则p ;否命题: 若非p , 则非q ; 逆否命题: 若非q , 则非p . 3．四种命题之间的关系四种命题真假之间的关系观察下列命题, 回答后面的问题:(1)如果两个三角形全等, 那么它们的面积相等;(2)如果两个三角形的面积相等, 那么它们全等;(3)如果两个三角形不全等, 那么它们的面积不相等;(4)如果两个三角形面积不相等, 那么它们不全等．问题1: 若把命题(1)看作原命题, 这四个命题之间有什么关系？提示: (1)与(2)、(3)与(4)为互逆关系; (1)与(3)、(2)与(4)为互否关系; (1)与(4)、(2)与(3)为互为逆否关系．问题2: 判断四个命题的真假．提示: 命题(1)(4)是真命题; 命题(2)(3)是假命题．1．四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假2．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题, 它们有相同的真假性．(2)两个命题互为逆命题或否命题, 它们的真假性没有关系．1．原命题是相对其他三种命题而言的．事实上, 可以把任意一个命题看成原命题, 来研究它的其他形式的命题．2．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时, 大前提仍作大前提．3．若两个命题互为逆否命题, 则它们有相同的真假性, 即它们同真同假．所以, 当一个命题的真假不易判断时, 可以通过对其逆否命题的真假的判断来判断原命题的真假．[对应学生用书P3]命题的概念及其判断[例1]判断下列语句是否为命题？若是命题, 则判断其真假:(1)2是无限循环小数;(2)x2－3x＋2＝0;(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时, 该数列为递增数列;(5)当x＝4时, 2x＋1>0;(6)把门关上．[思路点拨]首先判断是不是命题, 如果是, 然后再判断它是真命题还是假命题．[精解详析](1)能判断真假, 是命题, 是假命题．(2)不是命题, 因为语句中含有变量x, 在没给变量x赋值前, 无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．(3)不能判断真假, 不是命题．(4)是命题, 当等比数列的首项a1<0, 公比q>1时, 该数列是递减数列, 因此是一个假命题．(5)能判断真假, 是命题, 是真命题．(6)因为没有作出判断, 所以不是命题．[一点通](1)判断一个语句是不是命题, 关键是看能不能判断真假．(2)判定一个命题是真命题时, 一般需要经过严格的推理论证, 论证要有推理依据, 有时应综合各种情况作出正确的判断; 而判定一个命题为假命题时, 只需举出一个反例即可．1．下列语句:(1)2＋2 2是有理数;(2)1＋1>2;(3)2100是个大数;(4)968能被11整除;(5)非典型性肺炎是怎样传播的？其中是命题的是________．解析: (1)能判断真假, 是命题, 是假命题;(2)能判断真假, 是命题, 是假命题;(3)不能判断真假, 不是命题;(4)是命题, 是真命题;(5)不能判断真假, 不是命题．答案: (1)、(2)、(4) 2．判断下列命题的真假:(1)函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π; (2)斜率相等的两条直线平行;(3)不等式|3x －2|>4的解集是(－∞, －23)∪(2, ＋∞);(4)平行于同一平面的两条直线平行．解: (1)y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x , 显然其最小正周期为π, 故(1)为真命题．(2)斜率相等的两条直线有可能平行, 也有可能重合, 故(2)是假命题． (3)由|3x －2|>4得, 3x －2>4或3x －2<－4, ∴x >2或x <－23,∴|3x －2|>4的解集是(－∞, －23)∪(2, ＋∞)．故(3)为真命题．(4)平行于同一平面的两条直线可能平行, 可能相交, 可能异面, 故(4)为假命题.[例2] 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断其真假: (1)若实数a , b , c 成等比数列, 则b 2＝ac ;(2)函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0, ＋∞)上是减函数时, log a 2<0.[思路点拨] 先分清所给命题的条件和结论, 再按要求写出逆命题、否命题和逆否命题, 并做出真假判断．[精解详析](1)原命题可以写成: 若实数a , b , c 成等比数列, 则b 2＝ac , 为真命题． 逆命题: 若实数a , b , c 满足b 2＝ac , 则a , b , c 成等比数列, 为假命题． 否命题: 若实数a , b , c 不成等比数列, 则b 2≠ac , 为假命题．逆否命题: 若实数a , b , c , 满足b 2≠ac , 则a , b , c 不成等比数列, 为真命题(2)原命题可以写成: 若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0, ＋∞)上是减函数, 则log a 2<0, 为真命题．逆命题: 若log a 2<0, 则函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0, ＋∞)上是减函数, 为真命题． 否命题: 若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0, ＋∞)上不是减函数, 则log a 2≥0, 为真命题． 逆否命题: 若log a 2≥0, 则函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0, ＋∞)上不是减函数, 为真命题．[一点通](1)四种命题进行转化时应首先找出原命题的条件和结论, 然后利用四种命题的概念直接转化即可．(2)对于命题的真假判断, 当直接判断有难度时, 可以通过判断它的逆否命题的真假来判断．3．把下列命题改写成“若p, 则q”的形式, 并判断命题的真假:(1)等腰三角形的两个底角相等;(2)当x＝2或x＝4时, x2－6x＋8＝0;(3)已知x、y为正整数, 当y＝x＋1时, y＝3, x＝2.解: (1)原命题可改写成: 若一个三角形是等腰三角形, 则两个底角相等, 真命题．(2)原命题可改写成: 若x＝2或x＝4, 则x2－6x＋8＝0, 真命题．(3)原命题可改写成: 已知x、y为正整数, 若y＝x＋1, 则y＝3, x＝2.假命题．4．写出下列原命题的其他三种命题, 并分别判断其真假:(1)在△ABC中, 若a>b, 则∠A>∠B;(2)正偶数不是质数;(3)若x∈A则x∈(A∪B)．解: (1)原命题: 在△ABC中, 若a>b, 则∠A>∠B, 真命题;逆命题: 在△ABC中, 若∠A>∠B, 则a>b, 真命题;否命题: 在△ABC中, 若a≤b, 则∠A≤∠B, 真命题;逆否命题: 在△ABC中, 若∠A≤∠B, 则a≤b, 真命题．(2)原命题: 若一个数是正偶数, 则它一定不是质数, 假命题, 例如2;逆命题: 若一个数不是质数, 则它一定是正偶数, 假命题, 例如9;否命题: 若一个数不是正偶数, 则它一定是质数, 假命题, 例如9;逆否命题: 若一个数是质数, 则它一定不是正偶数, 假命题, 例如2.(3)原命题: 若x∈A, 则x∈(A∪B), 真命题;逆命题: 若x∈(A∪B), 则x∈A, 假命题;否命题: 若x∉A, 则x∉(A∪B), 假命题;逆否命题: 若x∉(A∪B), 则x∉A, 真命题.[例3]证明: 已知函数f(x)是(－∞, ＋∞)上的增函数, a, b∈R, 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f (－b ), 则a ＋b ≥0.[思路点拨] 根据原命题与逆否命题的等价性, 先证逆否命题即可．[精解详析] 法一: 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞, ＋∞)上的增函数, a , b ∈R , 若a ＋b <0, 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．”证明如下:若a ＋b <0, 则a <－b , b <－a . 又∵f (x )在(－∞, ＋∞)上是增函数, ∴f (a )<f (－b ), f (b )<f (－a ), ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．法二: 假设a ＋b <0, 则a <－b , b <－a . 又∵f (x )在(－∞, ＋∞)上是增函数, ∴f (a )<f (－b ), f (b )<f (－a )． ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾． 因此假设不成立, 故a ＋b ≥0. [一点通]由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性, 所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时, 可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．5．已知c >0, 设p : 函数y ＝c x 在R 上单调递减, q : 不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R , 如果p 和q 有且仅有一个正确, 求c 的取值范围．解: 函数y ＝c x 在R 上单调递减⇔0<c <1. 记P ＝{c |0<c <1}不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c . ∴不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔2c >1⇔c >12.记Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c | c >12.如果p 正确, 且q 不正确,借助数轴得0<c ≤12.如果p 不正确, 且q 正确, 借助数轴得c ≥1.∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1, ＋∞)． 6．证明: 若a 2－4b 2－2a ＋1≠0, 则a ≠2b ＋1.证明: “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0, 则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1, 则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．∵a ＝2b ＋1,∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1 ＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1, 则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知, 结论正确．1．写四种命题时, 可以按下列步骤进行: (1)找出原命题的条件p 和结论q ;(2)写出条件p 的否定非p 和结论q 的否定非q ; (3)按照四种命题的概念写出所有命题．2．判断命题的真假时, 可以根据互为逆否的命题的真假性相同来判断, 这也是反证法的理论基础．[对应课时跟踪训练(一)]1．给出下列语句: ①空集是任何集合的真子集; ②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数; ④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x ∈R , 则x 2＋4x ＋5>0.其中为命题的序号是________, 为真命题的序号是________．解析: ①是命题, 且是假命题, 因为空集是任何非空集合的真子集; ②该语句是疑问句, 不是命题; ③是命题, 且是假命题, 因为数0既不是正数, 也不是负数; ④该语句是感叹句, 不是命题; ⑤是命题, 因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立, 所以是真命题．答案: ①③⑤ ⑤2．设a , b 是向量, 命题“若a ＝－b , 则|a |＝|b |”的逆命题是________________________．答案: 若|a |＝|b |, 则a ＝－b3．命题“对于正数a , 若a >1, 则lg a >0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．解析: 逆命题: 对于正数a , 若lg a >0, 则a >1. 否命题: 对于正数a , 若a ≤1, 则lg a ≤0. 逆否命题: 对于正数a , 若lg a ≤0, 则a ≤1. 根据对数的性质可知都是真命题． 答案: 44．命题“若α＝π4, 则tan α＝1”的逆否命题是________．解析: 将条件与结论分别否定, 再交换即可． 答案: 若tan α≠1, 则α≠π45．给出下列命题: ①“若x 2＋y 2≠0, 则x , y 不全为零”的否命题; ②“若{a n }既是等差数列, 又是等比数列, 则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题; ③“若m >1, 则不等式x 2＋2x ＋m >0的解集为R ”的逆否命题．其中所有真命题的序号是________．解析: ①的否命题为“若x 2＋y 2＝0, 则x , y 全为零”是真命题; ②的逆命题为“数列{a n }中, 若a n ＝a n ＋1(n ∈N *), 则数列{a n }既是等差数列, 又是等比数列”是假命题, 如0,0,0……; 对于③当m >1时, Δ＝4－4m <0恒成立, x 2＋2x ＋m >0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题．答案: ①③6．把下列命题写成“若p , 则q ”的形式, 并判断真假． (1)奇函数的图像关于原点对称; (2)当x 2－2x －3＝0时, x ＝－3或x ＝1;(3)a <0时, 函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大．解: (1)若一个函数是奇函数, 则它的图像关于原点对称, 是真命题． (2)若x 2－2x －3＝0, 则x ＝－3或x ＝1, 是假命题．(3)若a <0, 则函数y ＝ax ＋b 的值随着x 值的增大而增大, 是假命题． 7．证明: 若m 2＋n 2＝2, 则m ＋n ≤2.证明: 将“若m 2＋n 2＝2, 则m ＋n ≤2”视为原命题, 则它的逆否命题为“若m ＋n >2, 则m 2＋n 2≠2”．由于m ＋n >2, 则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2,所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题, 从而原命题也为真命题．8．判断下列命题的真假, 并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断其真假．(1)若四边形的对角互补, 则该四边形是圆的内接四边形;(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中, b2－4ac<0, 则该函数图像与x轴有交点．解: (1)该命题为真．逆命题: 若四边形是圆的内接四边形, 则四边形的对角互补, 为真．否命题: 若四边形的对角不互补, 则该四边形不是圆的内接四边形, 为真．逆否命题: 若四边形不是圆的内接四边形, 则四边形的对角不互补, 为真．(2)该命题为假．逆命题: 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点, 则b2－4ac<0, 为假．否命题: 若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0, 则函数图像与x轴无交点, 为假．逆否命题: 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无交点, 则b2－4ac≥0, 为假．1．1.2充分条件和必要条件充分条件和必要条件如图: p: 开关A闭合, q: 灯泡B亮．问题1: p与q有什么关系？提示: 命题p成立, 命题q一定成立．p: 两三角形相似, q: 对应角相等．问题2: p与q有什么关系？提示: 命题p成立, 命题q一定成立．一般地, 如果p⇒q, 那么称p是q的充分条件, q是p的必要条件．充要条件已知p: 整数x是6的倍数;q: 整数x是2和3的倍数．问题1: “若p, 则q”是真命题吗？提示: 是．问题2: “若q, 则p”是真命题吗？提示: 是．问题3: p是q的什么条件？提示: 充要条件．1．如果p⇒q, 且q⇒p, 那么称p是q的充分必要条件．简称p是q的充要条件, 记作p⇔q.2．如果p⇒q, 且q⇒/ p, 那么称p是q的充分不必要条件．3．如果p⇒/ q, 且q⇒p, 那么称p是q的必要不充分条件．4．如果p⇒/ q, 且q⇒/ p, 那么称p是q的既不充分又不必要条件．原命题“若p, 则q”, 逆命题为“若q, 则p”, 则p与q的关系有以下四种情形: 原命题逆命题p、q的关系真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件真真p与q互为充要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件[对应学生用书P6]充分条件和必要条件的判断[例1]对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0), 下列结论正确的是________．①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件;②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件;③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件;④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．[思路点拨]逐一分析Δ, 根据二次函数与Δ的关系, 判断结论是否正确．[精解详析]①是正确的, 因为Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c 有零点;②是正确的, 因为Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根, 因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点, 但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时, 有可能Δ>0;③是错误的, 因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时, 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根, 但未必有Δ＝b2－4ac>0, 也有可能Δ＝0;④是正确的, 因Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)无零点．[答案]①②④[一点通]充分、必要条件判断的常用方法:(1)定义法: 分清条件和结论, 利用定义判断．(2)等价法: 将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．1．从“⇒”、“⇒/ ”与“⇔”中选出适当的符号填空:(1)x>1________x>0;(2)a>b________a2>b2;(3)a2＋b2＝2ab________a＝b;(4)A⊆∅________A＝∅.解析: (1)由于命题“若x>1, 则x>0”为真命题, 则x>1⇒x>0;(2)由于命题“若a>b, 则a2>b2”为假命题, 则a>b⇒/ a2>b2;(3)由于命题“若a2＋b2＝2ab, 则a＝b”为真命题, 且逆命题也为真命题, 故a2＋b2＝2ab⇔a＝b;(4)由于命题“若A⊆∅, 则A＝∅”为真命题, 且逆命题也为真命题, 故A⊆∅⇔A＝∅.答案: (1)⇒(2)⇒/ (3)⇔(4)⇔2．(福建高考改编)已知集合A＝{1, a}, B＝{1,2,3}, 则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．解析: 因为A＝{1, a}, B＝{1,2,3}, 若a＝3, 则A＝{1,3}, 所以A⊆B; 若A⊆B, 则a＝2或a＝3, 所以A⊆B⇒/ a＝3, 所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．答案: 充分不必要3．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选一个作答):(1)p: x－3＝0, q: (x－2)(x－3)＝0;(2)p : 两个三角形相似, q : 两个三角形全等; (3)p : a >b , q : a ＋c >b ＋c ; (4)p : a >b , q : ac >bc .解: (1)x －3＝0⇒(x －2)(x －3)＝0, 但(x －2)(x －3)＝0⇒/ x －3＝0, 故p 是q 的充分不必要条件．(2)两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等, 但两个三角形全等⇒两个三角形相似, 故p 是q 的必要不充分条件．(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c , 且a ＋c >b ＋c ⇒a >b , 故p 是q 的充要条件． (4)a >b ⇒/ ac >bc , 且ac >bc ⇒/ a >b , 故p 是q 的既不充分又不必要条件.充分条件、必要条件的应用[例2] 已知p : 2x 2－3x －2≥0, q : x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0, 若p 是q 的充分不必要条件, 求实数a 的取值范围．[思路点拨] 先利用不等式的解法确定命题p 、q 成立的条件, 再根据p 是q 的充分不必要条件确定a 的不等式组, 求得a 的范围．[精解详析] 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0} ＝{x |x ≤－12或x ≥2},N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0} ＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0} ＝{x |x ≤a －2或x ≥a }． 由已知p ⇒q 且q ⇒/ p , 得M N . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －2≥－12，a <2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2 ⇔32≤a <2或32<a ≤2 ⇔32≤a ≤2. 即所求a 的取值范围是[32, 2]．[一点通] 根据充分条件或必要条件求参数范围: (1)记集合M ＝{x |p (x )}, N ＝{x |q (x )}; (2)若p 是q 的充分不必要条件, 则M N ,若p 是q 的必要不充分条件, 则N M , 若p 是q 的充要条件, 则M ＝N ; (3)根据集合的关系列不等式(组); (4)求参数范围．4．已知p : 关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m2, q : x (x －3)<0, 若p 是q 的充分不必要条件, 求实数m 的取值范围．解: 记A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 3－m 2<x <3＋m 2, B ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0<x <3}, 若p 是q 的充分不必要条件, 则A B . 注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅, 分两种情况讨论:(1)若A ＝∅, 即3－m 2≥3＋m2, 求得m ≤0, 此时A B , 符合题意;(2)若A ≠∅, 即3－m 2<3＋m2, 求得m >0,要使AB , 应有⎩⎨⎧3－m2>0，3＋m2<3，m >0解得0<m <3.综上可得, 实数m 的取值范围是(－∞, 3)．5．已知条件p : x 2＋x －6＝0, 条件q : mx ＋1＝0, 且q 是p 的充分不必要条件, 求m 的值． 解: 由题意得p : A ＝{x |x ＝－3或x ＝2}, 当m ＝0时, p ＝B ＝∅, 当m ≠0时, P : B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝－1m .∵q 是p 的充分不必要条件, ∴B A . 易知m ＝0适合题意．当－1m ＝－3或－1m ＝2, 即m ＝13或m ＝－12时, 也适合题意．∴m 的值为－12或13或0.求充要条件[例3] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0, p ≠1), 求数列{a n }是等比数列的充要条件．[思路点拨] 根据数列的前n 项和S n 与数列通项a n 的关系, 先求出数列的通项a n , 根据数列{a n }为等比数列, 探求q 所满足的条件, 同时要注意充分性的证明．[精解详析] a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1), ∵p ≠0, p ≠1, ∴p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .若{a n }为等比数列, 则a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ,∴p (p －1)p ＋q＝p , ∵p ≠0, ∴p －1＝p ＋q ,∴q ＝－1.∴{a n }为等比数列的必要条件是q ＝－1. 下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件． 当q ＝－1时, S n ＝p n －1(p ≠0, p ≠1), ∴a 1＝S 1＝p －1;当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝p n －p n －1＝p n －1(p －1), ∴a n ＝(p －1)p n －1(p ≠0, p ≠1), a n a n －1＝(p －1)p n －1(p －1)p n －2＝p 为常数, ∴q ＝－1时, 数列{a n }为等比数列．即数列{a n }是等比数列的充要条件为q ＝－1. [一点通] 求充要条件一般有两种方法:(1)等价转化法．将原命题进行等价变形或转化, 直至获得其成立的充要条件, 求解的过程同时也是证明的过程, 因为求解的过程的每一步都是等价的, 所以不需要将充分性和必要性分开来证．(2)非等价转化法．先寻找必要条件, 即将求充要条件的对象视为结论, 寻找使之成立的条件; 再证明此条件是该对象的充分条件, 即从充分性和必要性两方面说明．6．使函数f (x )＝|x －a |在区间[1, ＋∞)上为增函数的充分不必要条件为________． 解析: 由函数f (x )＝|x －a |的图像知, 函数f (x )＝|x －a |在区间[1, ＋∞)上为增函数的充要条件为a ≤1, 所以使“函数f (x )＝|x －a |在区间[1, ＋∞)上为增函数”的充分不必要条件即求使“a ≤1”成立的充分不必要条件, 即填写形如a ≤p , 且p <1即可, 故答案不唯一, 可填a ≤0.答案: a ≤07．设n ∈N *, 一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析: 由于方程都是正整数解, 由判别式“16－4n ≥0”得“1≤n ≤4”, 逐个分析, 当n ＝1、2时, 方程没有整数解; 而当n ＝3时, 方程有正整数解1、3; 当n ＝4时, 方程有正整数解2.答案: 3或41．关于充分条件、必要条件、充要条件以及既不充分又不必要条件的关系有如下四种情形:(1)若p q , 则p 是q 的充分不必要条件; (2)若q p , 则p 是q 的必要不充分条件;(3)若p ＝q , 则p 是q 的充分必要条件, 既充要条件; (4)若p ⃘q , 且q ⃘p , 则p 是q 的既不充分又不必要条件．2．根据充分条件、必要条件、充要条件的关系求参数的取值范围, 往往运用等价转化的思想, 利用互为逆否命题的等价性来解决．[对应课时跟踪训练(二)]1．(安徽高考改编)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件．解析: 由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0, 因为“x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件, 所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案: 必要不充分2．已知直线l 1: x ＋ay ＋6＝0和l 2: (a －2)x ＋3y ＋2a ＝0, 则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________.解析: 由1×3－a ×(a －2)＝0, 得a ＝3或－1, 而a ＝3时, 两条直线重合, 所以a ＝－1. 答案: －13．对任意实数a , b , c , 给出下列命题: ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件; ②“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件; ③“a <5”是“a <3”的必要条件;④“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件． 其中真命题的序号为________．解析: ①“a ＝b ”是ac ＝bc 的充分不必要条件, 故①错, ②a >b 是a 2>b 2的既不充分也不必要条件, 故②错．③④正确．答案: ③④4．(北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件． 解析: 由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z ), 此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件, 故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．答案: 充分不必要5．若p : x (x －3)<0是q : 2x －3<m 的充分不必要条件, 则实数m 的取值范围是________． 解析: p : 0<x <3, q : x <3＋m 2,若p 是q 的充分不必要条件, 则3＋m2≥3, 即m ≥3.答案: [3, ＋∞)6．求证: 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明: (1)必要性: 因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根, 所以Δ＝b 2－4ac >0, x 1x 2＝ca<0(x 1, x 2为方程的两根), 所以ac <0. (2)充分性: 由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca <0(x 1, x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根, 且两根异号, 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述, 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 7．求直线l : ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1: 2x －2y －3＝0和l 2: 3x －5y ＋1＝0交点的充要条件．解: 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y －3＝0，3x －5y ＋1＝0，得交点P (174, 114)．若直线l : ax －y ＋b ＝0经过点P , 则a ×174－114＋b ＝0.∴17a ＋4b ＝11.设a , b 满足17a ＋4b ＝11, 则b ＝11－17a4,代入方程ax －y ＋b ＝0, 得ax －y ＋11－17a4＝0,整理, 得⎝⎛⎭⎫y －114－a ⎝⎛⎭⎫x －174＝0. ∴直线l : ax －y ＋b ＝0恒过点⎝⎛⎭⎫174，114, 此点即为l 1与l 2的交点．综上, 直线l : ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1: 2x －2y －3＝0和l 2: 3x －5y ＋1＝0交点的充要条件为17a ＋4b ＝11.8．已知p : －6≤x －4≤6, q : x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0), 若q 是p 的充分不必要条件, 求实数m 的取值范围．解: p : －6≤x －4≤6⇔－2≤x ≤10.q : x 2－2x ＋1－m 2≤0⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为q 是p 的充分不必要条件．即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}, 如图,故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0, 所以实数m 的范围为{m |0<m ≤3}．_1.2简单的逻辑联结词逻辑联结词如图所示, 有三种电路图．问题1: 甲图中, 什么情况下灯亮？ 提示: 开关p 闭合且q 闭合． 问题2: 乙图中, 什么情况下灯亮？ 提示: 开关p 闭合或q 闭合． 问题3: 丙图中, 什么情况下灯不亮？ 提示: 开关p 不闭合时．这里的“或”“且”“非”称为逻辑联结词.含有逻辑联结词的命题如知识点一中的图, 若开关p 、q 的闭合与断开分别对应命题p 、q 的真与假, 则灯亮与不亮分别对应着p ∧q 、p ∨q 、綈p 的真与假．问题1: 什么情况下, p ∧q 为真？ 提示: 当p 真, q 真时．问题2: 什么情况下, p ∨q 为假？提示: 当p假, q假时．问题3: 什么情况下, 綈p为真？提示: 当p假时．1．一般地, 通常用小写拉丁字母p, q, r表示命题, 用联结词“或”、“且”、“非”把p, q联结起来, 就得到新命题, “p或q”、“p且q”、“非p”．“p或q”记作“p∨q”;“p且q”记作“p∧q”;“非p”记作“綈p”．2．一般地, “p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假性可以用下面表格分别表示:(1)命题p且q的真假性:(2)命题p或q的真假性:(3)p与綈p的真假性:命题“p∧q”的真假, 概括为同真为真, 有假为假; 命题“p∨q”的真假, 概括为同假为假, 有真为真; 命题p与“綈p”的真假相反．第一课时“且”“或”“非”[对应学生用书P8]分析命题的结构[例1]指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成, 并写出其中的命题p, q:(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;(2)方程x2－3＝0没有有理根;(3)如果xy<0, 则点P(x, y)的位置在第二或第三象限．[思路点拨]根据命题的含义, 确定逻辑联结词, 分解出命题p和q.[精解详析](1)“p且q”的形式; 其中p: 两个角是45°的三角形是等腰三角形; q: 两个角是45°的三角形是直角三角形;(2)“非p”的形式; p: 方程x2－3＝0有有理根;(3)“p或q”的形式; 其中p: 如果xy<0, 则点P(x, y)的位置在第二象限: q: 如果xy<0, 则点P(x, y)的位置在第三象限．[一点通]正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键．根据各命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义确定命题的形式．若命题中没有出现逻辑联结词, 则可根据语句的意义确定命题的构成形式．1．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题:(1)2既不是偶数, 也不是质数;(2)王某是体操运动员或跳水运动员;(3)正方形既是矩形, 也是菱形;(4)仅有一组对边平行的四边形是梯形或平行四边形;(5)方程2x2－x＋1＝0没有实数根．解: (1)这个命题是“p且q”的形式, 其中p: 2不是偶数, q: 2不是质数;(2)这个命题是“p或q”的形式, 其中p: 王某是体操运动员, q: 王某是跳水运动员;(3)这个命题是“p且q”的形式, 其中p: 正方形是矩形, q: 正方形是菱形;(4)这个命题是“p或q”的形式, p: 仅有一组对边平行的四边形是梯形, q: 仅有一组对边平行的四边形是平行四边形．(5)这个命题是“綈p”形式, 其中p: 方程2x2－x＋1＝0有实数根．2．分别指出下列命题的形式及构成它的命题:(1)相似三角形周长相等或对应角相等;(2)方程x2－3x－4＝0的根是－4或1;(3)a∉A.解: (1)这个命题是“p∨q”的形式, 其中p: 相似三角形周长相等; q: 相似三角形对应角相等．(2)这个命题是“p∨q”的形式, 其中p: 方程x2－3x－4＝0的一个根是－4, q: 方程x2－3x－4＝0的一个根是1.(3)这个命题是“綈p”的形式, 其中p: a∈A.[例2]写出由下列各组命题构成的“p且q”“p或q”和“非p”形式的命题:(1)p: 6是自然数; q: 6是偶数;(2)p: ∅⊆{0}; q: ∅＝{0};(3)p: 甲是运动员; q: 甲是教练员．[思路点拨]根据p, q语句上的要求, 正确使用联结词, 写成三种形式．[精解详析](1)p且q: 6是自然数且是偶数．p或q: 6是自然数或是偶数．非p: 6不是自然数．(2)p且q: ∅⊆{0}且∅＝{0}．p或q: ∅⊆{0}或∅＝{0}．非p: ∅⃘{0}．(3)p且q: 甲是运动员且是教练员．p或q: 甲是运动员或是教练员．非p: 甲不是运动员．[一点通]用逻辑联结词“且”、“或”、“非”联结两个命题时, 关键是正确理解这些词语的意义及其与日常用语中的同义词的区别, 选择合适的联结词．有时, 为了语法的要求及语句的通顺, 也可进行适当的省略和变形．3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．(1)p: 梯形有一组对边平行, q: 梯形有一组对边相等;(2)p: －1是方程x2＋4x＋3＝0的解, q: －3是方程x2＋4x＋3＝0的解．。