其中 p 是已知的， i (i 1,2, , p) 是未知参数， 服从正 4 个模型中选择 1 个（用字符串输入，缺省时为线性模型）：
linear（线性）： y 0 1 x1 m xm
purequadratic（纯二次）：
y 0 1 x1
称 x(0) (k 1), x(0) (k)为数列的邻值
对于常数α∈ [0,1] ，称
z(0) (k) x(0) (k) (1 )x(0) (k 1)
为该数列生成系数（权）为α的邻值生成
特别的α=0.5
z(0) (k)
1
(x(0)
(k)
x(0)
(k
1))
2
为邻均值生成数。类似可定义非邻均值生成数
（1）用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1, x2 ,..., xk 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01, x2 x02 ,..., xk x0k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
多项式回归
设变量 x、Y 的回归模型为
Y 0 1x 2 x2 ... p x p
2、GM(1,1)模型
• 设原始序列为 X (0) (x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)) • 其1-ago序列为
X (1) (x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n))
• 邻均值生成序列 Z (1) (z (1) (2), z (1) (3), , z (1) (n))
Y 0 1x ，称为 y 对 x 的回归直线方程.
一元线性回归分析的主要任务是：
1．用试验值（样本值）对 0 、 1 和 作点估计； 2．对回归系数 0 、 1 作假设检验；
3．在 x= x0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
非线性回归：
（1）双曲线 1 a b
y
x
（2）幂函数曲线 y=a x b , 其中 x>0,a>0
y1
1 x11 x12 ...
Y
y2
，
X
1
x21
x22
...
M
M M M O
yn
1 xn1 xn2 ...
x1k
0
1
x2
k
，
1
，
2
M
M
M
xnk
k
n
y 0 1x1 ... k xk 称为回归平面方程.
返回
线性模型 (Y , X , 2 I n ) 考虑的主要问题是：
1-ago为：X 1 1,3, 4.5,7.5
将上述数据作图如下：
•
X 0 1,2,1.5,3
k
• r-ago为 xr k xr1 i; k 1, 2,n i 1
• B累减生成IAGO
是在获取增量信息时常用的生成，累减生成对累加 生成起还原作用
记原始数列 X (1) (x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n))
• 灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系 统的行为特征数据，充分利用数量不多的 数据和信息寻求相关因素自身与各因素之 间的数学关系．即建立相应的数学模型．
二、灰色系统理论的主要内容
• 灰色关联分析 • 灰色模型 GM(1,1)等 • 灰色预测 • 等等
三、灰色模型GM
• 1、数据的生成
A累加生成（Accumulating Generation Operator ）AGO
则令 x0 k x1 k x1 k 1; k 2,, n
称为一次累减生成 如（1，5，6，8）一次累减生成序列（1，4，1，2）
类似定义r次累减生成
• C均值生成
原始序列
X (0) (x(0) (1), x(0) (2),L , x(0) (k 1), x(0) (k )..., x(0) (n))
m xm
n
jj
x
2 j
j1
interaction（交叉）： y 0 1 x1 m xm jk x j xk
1 jk m
quadratic（完全二次）： y 0 1 x1 m xm jk x j xk
1 j,k m
灰色系统分析方法
一、灰色系统相关背景
• 1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色 系统理论，是一种研究少数据、贫信息不 确定性问题的新方法。灰色系统理论以 “部分信息已知，部分信息未知”的“小 样本”、“贫信息”不确定性系统为研究 对象，主要通过对“部分”已知信息的生 成、开发，提取有价值的信息，实现对系 统运行行为、演化规律的正确描述和有效 监控。灰色系统模型对实验观测数据没有 什么特殊的要求和限制，因此应用领域十 分宽广。
预测模型
• 回归模型 • 灰色模型 • 微分方程模型 • 等等
回归分析方法
• 一元线性回归 • 可线性化一元非线性回归 • 多元线性回归 • 多项式回归 • 多元二项式回归
一般地，称由 y 0 1x 确定的模型为一元线性回归模型，
记为
y 0 1x E 0, D 2 固定的未知参数 0 、 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量.
z (1) (k) 1 (x(1) (k) x(1) (k 1)) 2
• 则GM(1,1)模型的基本形式 为 x (0) (k) az (1) (k) b
• 参数a为发展系数，反映了X (0及) x(1的) 发展态
势 • b为灰色作用量 • z(1) (k)又称为白化背景值序列
• 则GM(1,1)模型的基本形式 为 x (0) (k) az (1) (k) b
设为原始序列 X (0) (x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n))
令
k
X (1) (k) x0 i; k 1, 2,, n
i 1
则称数列 X (1) (x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n))
为一次累加生成数列，1-AGO
• 例如已给原始数据数列 它没有明显的规律性。
（3）指数曲线 y=a ebx 其中参数 a>0.
（4）倒指数曲线 y=a eb / x 其中 a>0，
（5）对数曲线 y=a+blog x,x>0
（6）S
型曲线
y
a
1 bex
多元回归：
一般称
Y X
E
(
)
0,
COV(
,
)
2
I
n
为高斯-马尔可夫线性模型(k 元线性回归模型)，并简记为 (Y , X , 2 I n )