灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程邓聚龙，jq ，佚名摘要：从灰色系统的预备知识、灰色系统预测模型GM(1,1)的计算、灰色系统预测模型的检验、GM(1,1)预测应用举例以及GM(1,1)模型的特点等五个方面阐述了灰色系统预测模型GM(1,1)的基本思想与实现过程，这对于地理科学本科生学会运用该方法解决实际的地理预测问题，改进思维方式，提高实践能力具有一定的意义。

关键词：预测；灰色系统；模型检验；模型特点1 预备知识1.1 灰色系统白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。

1.2 灰色预测灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行 预测。

尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。

灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。

它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。

经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。

因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。

2 灰色系统预测模型GM(1,1) 2.1 GM(1,1)的一般形式设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n}其中X (1)(k )＝∑=ki 1X (0)(i)＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1)对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：dtdX )1(十)1(aX ＝u (2)即GM(1,1)模型。

上述白化微分方程的解为(离散响应)： ∧X (1)(k +1)＝(X (0)(1)－a u )ak e -＋au(3)或∧X (1)(k )＝(X (0)(1)－a u ))1(--k a e ＋au (4) 式中：k 为时间序列，可取年、季或月。

2.2 辩识算法记参数序列为∧a , ∧a＝[a,u]T ,∧a 可用下式求解:∧a ＝(B T B)-1B T Y n (5)式中:B —数据阵；Y n —数据列B ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++- 1 (n))X 1)-(n (X 21 ... 1 (3))X (2)X (211 (2))X (1)X (21(1)1(1)(1)(1)(1)）（－－ (6) Y n ＝(X (0)(2), X (0)(3),…, X (0)(ｎ))T (7)2.3 预测值的还原由于GM 模型得到的是一次累加量，k ∈{n+1,n+2,…}时刻的预测值，必须将GM 模型所得数据∧X(1)(k +1)(或∧X(1)(k ))经过逆生成即累减生成(I —AGO)还原为∧X (0)(k +1)(或∧X (0)(k ))，即：∧X(1)(k )＝∑=ki 1∧X (0)(i)＝∑-=11k i ∧X (0)(i)＋∧X (0)(k )∧X(0)(k )＝∧X(1)(k )－∑-=11k i ∧X (0)(i)因为∧X(1)(k -1)＝∑-=11k i ∧X (0)(i)，所以∧X (0)(k )＝∧X (1)(k )－∧X (1)(k -1)。

3 灰色系统模型的检验3.1 检验方法一：残差合格（相对误差）定义：设原始序列{})(,),2(),1()0()0()0()0(n x x x X =相应的模型模拟序列为{})(ˆ,),2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0(n x x x X= 残差序列{})(),2(),1()0(n εεεε ={})(ˆ)(,),2(ˆ)2(),1(ˆ)1()0()0()0()0()0()0(n x n x xx x x ---= 相对误差序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∆)()(,,)2()2(,)1()1()0()0()0(n x n x x εεε{}n k 1∆=1.对于k ＜n,称)()()0(k x k k ε=∆为k 点模拟相对误差，称)()()0(n x n n ε=∆为滤波相对误差，称∑=∆=∆nk k n 11为平均模拟相对误差；2.称∆-1为平均相对精度，n ∆-1为滤波精度；3.给定α，当α<∆，且α<∆n 成立时，称模型为残差合格模型。

3.2 检验方法二：关联合格定义：设)0(X 为原始序列，)0(ˆX为相应的模拟误差序列，ε为)0(X 与)0(ˆX的绝对关联度，若对于给定的00,0εεε>>，则称模型为关联合格模型。

3.3 检验方法三：均方差比合格、小误差概率合格 定义：设)0(X为原始序列，)0(ˆX为相应的模拟误差序列，)0(ε为残差序列。

∑==n k k x n x 1)0()(1为)0(X 的均值，21)0(21))((1x k x n s n k -=∑=为)0(x 的方差，∑==nk k n 1)(1εε为残差均值，∑=-=n k k n s 1222))((1εε为残差方差，1. 称12s sc =为均方差比值；对于给定的00>c ，当0c c <时，称模型为均方差比合格模型。

2. 称()16745.0)(s k Pp <-=εε为小误差概率，对于给定的00>p ,当0p p >时，称模型为小误差概率合格模型。

表1 精度检验等级参照表精度等级相对误差 关联度 均方差比值 小误差概率一级 0.01 0.90 0.35 0.95 二级 0.05 0.80 0.50 0.80 三级 0.10 0.70 0.65 0.70 四级 0.20 0.60 0.800.60一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。

4 GM(1,1)预测应用举例设原始时间序列为：{})5(),4(),3(),2(),1()0()0()0()0()0()0(x x x x x X=()679.3,390.3,337.3,278.3,874.2=建立GM(1,1)模型，并进行检验。

解：1）对)0(X作1-AGO ，得[D 为)0(X 的一次累加生成算子，记为1-AGO]{})5(),4(),3(),2(),1()1()1()1()1()1()1(x x x x x X= ()558.16,579.12,489.9,152.6,874.2=2)对)1(X作紧邻均值生成，令)1(5.0)(5.0)()1()1()1(-+=k x k x k Z{})5(),4(),3(),2(),1()1()1()1()1()1()1(z z z z z Z =()718.14,84.11,820.7,513.4,874.2=于是，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1718.14184.111820.71513.41)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1(z z z z B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=679.3390.3337.3278.3)5()4()3()2()0()0()0()0(x x x x Y⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----•⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=T 1718.14184.111820.71513.41111718.14184.11820.7513.4B B⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4235.38235.38221.423⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--T832371.11665542.0165542.0017318.04235.38235.38221.423)(11B B⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=221.423235.38235.384969.2301221.423235.38235.384235.384221.42312⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎦⎤⎢⎣⎡----•⎥⎦⎤⎢⎣⎡==T -T 679.3390.3337.3278.31111718.14184.11820.7513.4832371.11665542.0165542.0017318.0)(ˆ1Y B B B a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=679.3390.3337.3278.3604076.10019051.0537833.0085280.1089344.0028143.0030115.0087386.0 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=065318.3037156.0 3）确定模型065318.3037156.0)1()1(=-x dtdx 及时间响应式a be a b x k xak +-=+-))1(()1(ˆ)0()1( 4986.823728.85037156.0-=ke4)求)1(X 的模拟值{})5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆˆ)1()1()1()1()1()1(x x x x x X= =(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)还原出)0(X 的模拟值，由)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(k x k x k x-+=+ 得 {})5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0()0()0(x x x x x X==（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128） 6）误差检验表2 残差与相对误差计算结果 序号23.278 3.2318 0.04621.41% 3 3.337 3.3541 -0.0171 0.51% 4 3.390 3.4811 -0.09112.69% 53.679 3.61280.06621.80%① 平均相对误差%)80.1%69.2%51.0%41.1(414151+++=∆=∆∑=k k=1.0625%…………（参考表1，1级）② 计算X 与Xˆ的灰色关联度 ))1()5((21)1()((42x x x k x S k -+-=∑= =)874.2679.3(21)874.2390.3()874.2337.3()874.2278.3(-+-+-+- 0.40250.5160.4630.404+++==1.7855)1(ˆ)5(ˆ(21)1(ˆ)(ˆ(ˆ42x x x k x Sk -+-=∑= )874.26128.3(21)874.24811.3()874.23541.3()874.22318.3(-+-+-+-=3694.06071.04801.03578.0+++==1.8144[][]∑=---+---=-42))1(ˆ)5(ˆ())1()5((21))1(ˆ)(ˆ())1()((ˆk x x x x x k x x k x S S)4025.03694.0(21)516.06071.0()463.04801.0()404.03578.0(-+-+-+-=01655.0091.00171.00462.0-++-==0.0453564525.45999.404535.08144.17855.118144.17855.11ˆˆ1ˆ1=+++++=-+++++=S S SS S S ε=0.9902＞0.90…………（参考表1，为1级）综合：精度为一级，可以用4986.823728.85)1(ˆ037156.0)1(-=+k e k x其中，)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(k x k x k x-+=+预测。