高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题1．(2010·湖南文，4)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线 [答案] D[解析] 由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2－x ＝0.此方程所表示的图形是圆．消去方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t 中的参数t 可得，x ＋y －1＝0，此方程所表示的图形是直线．2．(2010·北京市延庆县模考)下列参数方程(t 为参数)中，与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t 2 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan 2t y ＝tan t C.⎩⎨⎧ x ＝t y ＝|t |D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝tan 2t [答案] B[解析] 将t ＝x 代入y ＝t 2得，y ＝x 2，故A 错，将tan t ＝y 代入x ＝tan 2t 中得，x ＝y 2，∵tan t ∈R ，故B 正确，C 、D 容易判断都是错的．[点评] 注意C 中⎩⎨⎧x ＝ty ＝|t |，消去t 得y ＝|x |，平方得y 2＝|x |，∵y 2≥0限定了x 的取值必须非负，∴y 2＝x ，但由于y ＝|x |，故它必须满足y ≥0，而y 2＝x 中的y ∈R .3．将曲线y ＝12sin3x 变为y ＝sin x 的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x ′y ＝2y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y[答案] D4．(2010·延边州质检)直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2t y ＝1－2t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)截得的弦长为( )A ．27 B.7 C ．47 D ．2 [答案] A[解析] 将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝1－2t 化为普通方程得x ＋y ＝2，将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝3sin α化为普通方程得x 2＋y 2＝9.圆心O 到直线的距离d ＝|0＋0－2|12＋12＝2，所以弦长l ＝2R 2－d 2＝27.5．(2010·安徽合肥六中)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( ) A.13 B.15 C ．－13D ．－15[答案] D[解析] ⊙O 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15.6．(2010·重庆一中)曲线x 2＋y 2＝4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ∈[0,2π))关于直线l 对称，则l 的方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝－x ＋2D ．y ＝x ＋2 [答案] D[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心C (0,0)，圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θy ＝2＋2sin θ，θ∈[0,2π)的圆心O (－2,2)， ∵⊙O 与⊙C 关于直线l 对称，∴l 为线段OC 的中垂线， ∵k OC ＝－1，∴k l ＝1，∴l 方程为：y －1＝x －(－1)，即y ＝x ＋2. 二、填空题7．(2010·广东罗湖区调研、中山市、惠州一中模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．[答案] ρcos θ＝3[解析] 解法一：圆ρ＝6cos θ的圆心极坐标(3,0)，∴直线l 方程为ρcos θ＝3.解法二：由ρ2＝6ρcos θ得x 2＋y 2＝6x ，圆心C (3,0)，∴过圆心垂直于极轴(即x 轴)的直线方程为x ＝3，其极坐标方程为ρcos θ＝3.[点评] 1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形式是基本方法，故应熟记互化公式．2．掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要．8．(2010·广东佛山顺德区质检)若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2t y ＝－1－t (t 为参数)被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)所截，则截得的弦的长度是________．[答案]655[解析] 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t y ＝－1－t 化为x ＋2y ＋3＝0；圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θy ＝1＋3sin θ化为(x －1)2＋(y －1)2＝9， 圆心C (1,1)到直线x ＋2y ＋3＝0距离d ＝655，半径r ＝3，∴弦长为2r 2－d 2＝655.9．以椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为焦点，以直线⎩⎨⎧x ＝2t y ＝4t为渐近线的双曲线的参数方程为________________．[答案] ⎩⎨⎧x ＝sec θy ＝22tan θ(θ≠k π＋π2)[解析] ∵椭圆的焦点(±3,0)，∴双曲线中c ＝3，又直线⎩⎨⎧x ＝2ty ＝4t化为y ＝22x ，它是双曲线的渐近线，∴ba＝22，∴a 2＝1，b 2＝8，∴a ＝1，b ＝22， ∴双曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sec θy ＝22tan θ(θ≠k π＋π2)．10．(2010·惠州质检)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos230°y ＝－1＋t sin230°(t 为参数)的倾斜角是________．[答案] 50°[解析] 解法一：当x ≠3时，⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t cos230°y ＋1＝t sin230°⇒y ＋1x －3＝tan230°＝tan(180°＋50°)＝tan50°，∴直线倾斜角是50°.解法二：方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t cos50°y ＝－1－t sin50°，∴倾斜角为50°.11．(2010·江门市质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ＋m (m 是常数，θ∈(－π，π]是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则m ＝________. [答案] ±1[解析] ∵⊙C ：x 2＋(y －m )2＝1与x 轴相切， ∴m ＝±1.12．(2010·广东玉湖中学)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ的离心率是________．[答案]74[解析] 由已知可得椭圆的普通方程为x 29＋y 216＝1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝7，e ＝c a ＝74.13．(2010·北京顺义一中月考)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3ty ＝1－4t (t 为参数)，则C 1与C 2的位置关系为________． [答案] 相离[解析] 圆C 1：(x －3)2＋(y －2)2＝4的圆心C 1(3,2)到直线C 2：4x ＋3y －7＝0的距离d ＝115>2，∴C 1与C 2相离． 14．(2010·惠州质检)在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为______．[答案] ρcos θ＝2[解析] 点⎝⎛⎭⎫22，π4的直角坐标x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x ＝2，即ρcos θ＝2.三、解答题15．(2010·江苏盐城调研)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(两种坐标系中取相同的单位长度)，已知点A 的直角坐标为(－2，6)，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，直线l 过点A 且倾斜角为π4，圆C 以点B 为圆心，4为半径，试求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程．[解析] ∵直线l 过点(－2,6)，倾斜角为π4，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝6＋22t (t 为参数)，又圆心B 的直角坐标为(0,4)，半径为4， ∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，将x ＝ρ·cos θ，y ＝ρ·sin θ代入化简得圆C 的极坐标方程为ρ＝8·sin θ.16．(2010·苏北四市模考)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．[解析] 因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )所以直线l 的普通方程为y ＝3x ， 又因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝1＋cos2α(α为参数) 所以曲线C 的直角坐标方程为 y ＝12x 2(x ∈[－2,2])， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x y ＝12x 2解得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝23y ＝6，∵－2≤x ≤2，∴⎩⎨⎧x ＝23y ＝6应舍去，故P 点的直角坐标为(0,0)．17．(2010·哈师大附中)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝1＋45ty ＝－1－35t (t为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长．[解析] 将方程⎩⎨⎧x ＝1＋45ty ＝－1－35t (t 为参数)化为普通方程得，3x ＋4y ＋1＝0，将方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4化为普通方程得，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，它表示圆心为⎝⎛⎭⎫12，12，半径为22的圆，则圆心到直线的距离d ＝110， 弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝75.。