函数对称性的应用
高中数学新课标对函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
在这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。
所以我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结
一、对称性的概念
（1）函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
（2）中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
二、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）
（1）常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为
它的对称轴
（2）幂函数：幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴。
（3）正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（k π，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
（4）正弦型函数：正弦型函数y=Asin（ωx+φ）既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
（5）余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=k π是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心。
（6）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称图形，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，（不要误以为对称中心只是（kπ，0））。
（7）三次函数：任何三次函数都是中心对称图形，对称中心的横坐标是二阶导数的零点。
（8）对号函数：对号函数y=x+a/x（其中a>0）因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
（它没有对称轴），例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5）=f （1.5），我在教学时总是问学生：你可看见过老师将“√”
两边画得一样齐？学生们立刻明白并记忆深刻。
（9）绝对值函数：这里主要说的是y=f（│x│）和y=│f（x）│两类。
前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;
后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。
三、抽象函数的对称性猜测
（一）函数自身的对称性
定理1函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是：f（x）+f（2a-x）=2b
推论：函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是：f（x）+f（-x）=0
定理2.函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是：f（a+x）=f（a-x）即f （x）=f（2a-x）
推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）。
推论：满足条件f （x-a）的函数的图象关于直线x=对称。
定理3.①若函数y=f（x）f（b-x）图像同时关于点A （a，c）和点B （b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
②若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是
周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
③若函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a ≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
（二）不同函数对称性的探究
定理4. 函数y=f（x）与y=2b-f （2a-x）的图像关于点A （a ，b）成中心对称。
定理5. ①函数y = f （x）y =f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f（x）与a-x = f （a-y）的图像关于直线x +y=a成轴对称。
③函数y=f（x）与x-a=f（y + a）的图像关于直线x-y=a成轴对称。
定理6. ①函数y=f （x）与y=f（-x）的图像关于直线x=0成轴对称。
②函数y=f（x）与y=-f（x）的图像关于直线y=0成轴对称。
③函数y=f（x）与y=-f（-x）的图像关于原点成中心对称。
④函数y=f（x）与y=f（x）的图像的关系。
f（x）的图象先保留f（x）在Y轴右方的图象，擦去Y轴左方的图象，然后作出Y轴右方的图象关于Y轴的对称图形得到。
⑤函数y=f（x）与y=f（x）的图像的关系f（x）。
的图象先保留f（x）原来在X轴上方的图象，作出X轴下方的图象关于X轴的对称图形，然后擦去X轴下方的图象得到。