江苏省常州市西夏墅中学高三数学《向量数量积》学案
一、学习目标：
1．掌握平面向量的数量积及其几何意义。
2．掌握平面向量的数量积的性质与运算律。
3．了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
二、知识回顾：
1、两个向量的数量积：
2、两个向量的夹角：
3、向量的数量积的运算性质：
三、课前热身：
1．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于（） A．150°B． 120°C．60°D．30°
2．若a＝（－2，1），b＝（1，3），则2a2－a·b＝（） A．15 B．11 C．9 D．6
3．在△ABC中，若·<0，则△ABC的形状一定是_________三角形。
4．已知a＝（1，2），b＝（1，1），c＝b－ka，且c⊥a，则C点的坐标为___________。
5．已知e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，求a·b。
四、范例透析：
例1已知平面内a，b，c三向量两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，试求a+b+c 的长度以及与已知向量的夹角。
例2已知a =1-），b =1(,
22
（1）求证：a ⊥b 。
（2）如果存在不等于0的实数k 和t ，使x=a +(t 2-3)b ，y=-k a +t b 且x ⊥y ，试确定k 与t 的关系。
（3）根据（2），确定k=f(t)的单调区间。
例3已知a =(cos 32x ，sin 32x )，b =(cos 2x ，—sin 2x )，且x ∈[0，2
π]， （1）求a ·b 及|a +b |； （2）若f(x)=a ·b -2λ|a +b |的最小值是-
32，求λ的值。
五、练习反馈
1、a =（4，3），b =（3，-4），则a 在b 方向上的投影为______________
2、正三角形ABC ，边长为1，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=_________
3、a =（x ，3），b =（2，-1），若a 与b 的夹角为锐角，则x 的取值范围为__________
4、平面内|a |=1，|b |a +b |=2，则|a -b |=__________
5、平面内a 与b 为两个非零向量，如果(a +3b )⊥(7a -5b )且(a -4b )⊥(7a -2b)，a 与b 的夹角为___________
6、(2,0),(2,2),(2cos )OB OC CA αα===，则OA OB 与的夹角取值范围为__________
六、课堂小结：
七、课后巩固：
（一）达标演练
1．已知|a |＝5，a 与b 的夹角的正切值为34
，a ·b ＝12，则b 的模为__________。
2．已知|a |＝2，向量a 在单位向量e a 与向量e 的夹角为__________。
3．已知点A （－2，－3），B （19，4），C （－1，－6），则△ABC 是__________。
4的正三角形ABC 中，设＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于__________。
5．已知向量a ，b 的夹角为60°，且（a ＋3b ）⊥（7a ―5b ），求证：（a ―4b ）·（7a ―2b ）＝0。
6．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2。
如果向量a ＋k b 与5a ＋b 垂直，求实数k 的值。
（二）能力突破
1、△ABC 中，(2,3),(1,)AB AC k ==且△ABC 为直角三角形，则k=__________
2、△ABC 中，,,AB c BC a CA b ===，且a ·b =b ·c =c ·a ，则△ABC 为__________
3、a=（0，-1），b=（2cos θ，2sin θ），θ∈（,2π
π），则a 与b 的夹角为__________
4．已知m ＝（－5，3），n ＝（－1，2），当（λm ＋n ）⊥（2n ＋m ）时，实数λ的值为______。
5．已知|a |＝|b |＝1，且（2a ―b ）·（3a ―2b ）＝8，则a 与b 的夹角为___________。
6．已知A 、B 、C 、D 是平面上给定的四个点，则·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝___________。
7．已知a ＋b ＝（2，―8），a ―b ＝（－8，16），则a 与b 夹角的余弦值为___________。
8．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围。
9.a =（k ，1），b =(21,k m k
) （1）若m=1，k ≥4，求a ·b 最小值。
（2）若a ·b ≥
2k
，在k ≥2时恒成立，求m 的取值范围。
八．学生自我反思：。