函数的极值与导数一、要点精讲1、函数极值的定义设函数()x f 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有点，都有()()0x f x f <（或()()0x f x f >），则称()0x f 是函数()x f 的一个极大（小）值，记作()0x f y =极大值（或()0x f y =极小值）．极大值与极小值统称为极值．2、判别()0x f 是极值的方法一般地，当函数()x f 在点0x 处连续时，⑴ 如果在0x 附近的左侧()0>'x f ，右侧()0<'x f ，那么()0x f 是． ⑵ 如果在0x 附近的左侧()0>'x f ，右侧()0<'x f ，那么()0x f 是． 3、求可导函数()x f 极值的步骤：⑴ 确定函数()x f 的定义域；⑵ 求导数()x f '；⑶求方程()0='x f 的根.；⑷检验()x f '在方程()0='x f 的根的左右的符号，如果左正右负，那么函数()x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数()x f y =在这个根处取得极小值. 说明：1．曲线在极值点处切线的斜率为0，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值 点左侧切线的斜率为负，右侧为正，据此得到可导函数极值的概念．对此概念的几点说明如下：(1)函数()f x 在点0x 及其附近有定义，是指在点0x 及其左右邻域都有意义． (2)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言的．(3)极值总是函数()f x 定义域的某个开区间内的点，因而端点绝不是函数的极值点．(4)连续函数()f x 在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有．函数的极大值与极小值没有必 然的大小关系，函数的一个极小值也不一定比极大值小． 3．极值点与导数为0的点的关系： (1)导数为0的点不一定是极值点．如函数()3f x x =在0x =处的导数是0，但它不是极值点．对于可导函数，极值点的导数必为0. 因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件．(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点．如函数()f x x =，在0x =处，左侧(0x <时)()10f x '=-<，右侧(0x >时)()10f x '=>， 当0x =时()0f x =是()f x 的极小值点，但()0f '不存在． 二、自主练习1．下列结论中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极大值 2．函数313y x x =+-有( )A ．极小值－2，极大值2B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－1，极大值1D ．极小值－1，极大值33.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点A1个B2个C3个D4个4．若函数()y f x =是定义在R 上的可导函数，则()0=0f x '是x 0为函数()y f x =的极值点的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：如y ＝x 3，y ′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是函数y ＝x 3的极值点． 5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________. 解：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，又f (x )在x ＝－3时取得极值，∴f ′(－3)＝30－6a ＝0，则a ＝5. 6、（2016四川） 已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a = （ ） (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2解：()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D. 三、典例精析考点一：判断函数极值存在性1、判断函数3y x =在0x =处能否取得极值．解法1：当x ＝0时，f(x)＝0，在x ＝0的附近区域内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))， 因此y ＝x 3在x ＝0处取不到极值．解法2：y ′＝3x 2，当x ≠0时，y ′>0，当y ＝0时，f(x)＝0，因此y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数， 因为单调函数没有极值，所以y ＝x 3在x ＝0处取不到极值． 2、判断函数()0y ax b a =->在其定义域内是否存在极值． 解：设()y f x =，则在b x a =附近有()b f x f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以由极值的定义知， ()f x 在bx a=处取得极小值0b f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.（2012重庆）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如图所示， 则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 解：由图象可知当2-<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.当12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当21<<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当2>x 时，(1)'()0y x f x =-<，所以此时0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f有极大值)2(-f ，极小值)2(f ,选D.4.（2014新课标2，文3）函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点， 则（A ）p 是q 的充分必要条件（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 解：.,.∴0)(,;,0)(0000C q p x f x q p x x f 选所以的必要条件是命题则是极值点若的充分条件不是命题不一定是极值点则若=′∴=′5、（2013新课标2，理10，文11）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。

由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++， 因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ,所以B 正确。

由三次函数的图象可知，若0x 是f(x)的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间 （-∞,0x ）单调递减是错误的，D 正确。

选C. 考点二：求函数的极值6.（2012陕西）设函数()xf x xe =，则（ ）A. 1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C. 1x =-为()f x 的极大值点D. 1x =-为()f x 的极小值点解: x xxxe e x f xe x f +=∴=)(',)( ，令0)('=x f ，则1-=x ，当1-<x 时0)('<x f ， 当1->x 时0)('>x f ，所以1-=x 为)(x f 极小值点，故选D. 7、设函数()313f x x x m =-+的极大值为1，则函数()f x 的极小值为（ ） A.13- B.1- C.13 D. 21 试题分析：2()1f x x '=-,由()0f x '=得121,1x x =-=，又因为函数在区间(,1)-∞-上单调递增，在区间(1,1)-上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =-处取得极大值，且(1)1f -=，即13m =，函数()f x 在1x =处取得极小值，且3111(1)11333f =⨯-+=-，故选A. 8.（15年陕西文科）函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________.9．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝23-时都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若f (－1)＝32，求f (x )的单调区间和极值．(1)∴a ＝－12，b ＝－2.(2)递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1，＋∞)，递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭. c=1当x ＝23-时，f (x )有极大值，249=327f ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝12-.10．（2013福建）已知函数()()ln f x x a x a R =-∈(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值.解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()1'=-af x x. (Ⅰ)当2a =时,()2ln f x x x =-,2()1(0)'=->f x x x, (1)1,(1)1'∴==-f f , ()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线方程为1(1)-=--y x , 即20+-=x y .(Ⅱ)由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知: ①当0≤a 时,()0f x '>,函数()f x 为(0,)+∞上的增函数,函数()f x 无极值; ②当0>a 时,由()0'=f x ,解得=x a ;(0,)∈x a 时,()0f x '<,(,)∈+∞x a 时,()0f x '>()f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln f a a a a =-,无极大值.综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值 当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值.11.（15年安徽文科）已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x axx f （1）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；（2）若400=ra，求)(x f 在),0(+∞内的极值。