当s1s2时，微分方程的通解为
uC ( t ) A1e s1t A2e s2t
初始条件为
uC (0 ) uC (0 ) 0
i (0 ) I 0 uC (0 ) C C
I0 s1 A1 s2 A2 C
A1 A2 0
I0 A1 C ( s1 s2 ) I0 A2 C ( s1 s2 )
α称为衰减常数，或阻尼常数
角频率d称为阻尼振荡角频率
阻尼振荡角频率不仅决定于电感L和电容C，也和电阻 R有关。 在R = 0的极限情况下， = 0， d 0
1 LC
θ = 0，在R = 0情况下的响应uC(t)、i (t) 均变为等幅振 荡，或称为无阻尼振荡。其函数表达式为
I0 I0 jd t jd t uC ( t ) (e e ) sin(d t ) ( t ) j 2Cd C d duC i(t ) C I 0 cos(d t ) ( t ) dt
iL(0-)=1A，求电容电压和电感 电流的零输入响应。
解：将R、L、C的值代入计算出固有频率
2 R 1 R 2 s1， 3 3 8 3 1 2 2 L 2 L LC 4
2
则
uC ( t ) K 1e
2 t
K 2e
§4-5 二阶电路的冲激响应
本节主要讨论RLC串联电路冲激响应的求解方 法及其性质。
要求
1 能根据给定电路列写二阶动态电路的输入— 输出方程； 2 能根据已知条件确定求解微分方程的初始条 件； 3 能根据电路参数定性的判断 R、L、C串联 （或并联）电路的冲激响应的几种放电类型。
一、RLC串联电路的冲激响应
0 sin
d arccos 0
s1， α jωd 2
I0 uC ( t ) (e s1t e s2 t )ε( t ) C ( s1 s2 )
I0 uC ( t ) e t e jd t e t e jd t j 2Cd
电容上的冲激响应电压为
I0 uC ( t ) (e s1t e s2 t )ε( t ) C ( s1 s2 )
冲激响应电流为
duC ( t ) I0 i(t ) C ( s1e s1t s2e s2t )ε( t ) dt s1 s2
2 s1 α α 2 ω0 2 s2 α α 2 ω0
( t 0 )
uC ( t ) e 3t [ K 1 cos 4t K 2 sin(4t ) ]
(t 0 )
带入初值： C(0+)= uC(0-)= 3V u
uC (0 ) K1 duC (t ) dt
t 0
iL(0+)= iL(0-)= 0.28A K1=3
iL (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
L 或R 2 C LC
uc ( t )
I0
2 2C α 2 ω0
( e s1t e s2 t )ε ( t )
duC I0 i(t ) C ( s1e s1t s2 e s2 t )ε( t ) 2 dt 2 α 2 ω0
1.t 0, e s1t e s2t 1
二、RLC并联电路的零输入响应
uc (0＋) = uc (0) = 0
Us iL (0 ) iL (0 ) I0 Rs
当t > 0 时，有
duc ( t ) uc ( t ) iL (t ) C 0 dt R 1 t iL ( t ) i L (0 ) uc ( t ')dt ' L 0
uc ( t )
I0
2 2C α 2 ω0来自( e s1t e s2 t )ε ( t )
duC I0 i(t ) C ( s1e s1t s2 e s2 t )ε( t ) 2 dt 2 α 2 ω0
s1和s2为不相等的根
R 1. 0 即 2L 1
特征根 两个不相等的负 实根 两个相等的负实 根 一对共轭复根 一对共轭虚根
参数关系
阻尼状态 过阻尼
振荡情况 不振荡，衰减到零
L R2 C
R2
L C
临界阻尼
不振荡，衰减到零
L R2 C
R=0, L、C不等于 零
欠阻尼 无阻尼
衰减振荡直到零 等幅振荡不衰减
例1 如图所示电路，已知R=3，
L=0.5H，C=0.25F， uC(0-)=2V,
参数不同时，S1，S2为：
1.R 0, 0 ( R 2 L ), s1、s2为不等的负实根 C L 2.R 0, 0 ( R 2 ), s1、s2实重根 C L 3.R 0, 0 ( R 2 ), s1、s2为一对共轭复根 C
4.R 0, s1、s2为一对共轭虚根
K2=-4
最后得到电容电压和电感电流的零输入响应为
uC ( t ) (6e 2 t 4e 4 t )V
duC iL ( t ) iC (t ) C ( 3e2 t 4e4 t )A dt
(t 0 )
( t 0 )
例2 如图所示电路，已知R=6，
L=1H，C=0.04F， uC(0-)=3V,
4 t
(t 0 )
uC ( t ) K 1e 2 t K 2e 4 t
带入初值： uC(0+)= uC(0-)= 2V
uC (0 ) K1 K 2 2 duC ( t ) dt
t 0
(t 0 )
iL(0+)= iL(0-)= 1A K1=6
iL (0 ) 2 K 1 4 K 2 4 C
K2=4
最后得到电容电压和电感电流的零输入响应为
uc ( t ) e 3t [3cos( 4t ) 4sin( 4t )] 5e3t cos( 4t 53.1 )V ( t 0 ) duc iL ( t ) C 0.04e 3t [7 cos( 4t ) 24sin( 4t )] dt e3t cos( 4t 73.74 )A ( t 0 )
当t < 0时， (t) = 0，i(0) = 0，uC (0) = 0。 从0-到0+时间内uL=δ(t) 当t = 0+ 时，有
1 0 1 i (0 ) δ( t ) dt I 0 L 0 L
电容电流为有限值，电容电压不跳变，即
uC (0 ) uC (0 ) 0
I0 αA1 A2 C A1 0
A1 0 I0 A2 C
I 0 t t uC ( t ) e (t ) C du i(t ) C (1 t ) I 0e t ( t ) dt
非振荡放电（临界阻尼放电） u、i随时间变化的曲线 与过阻尼情况相同
2
R 1 R s2 LC 2L 2L
2
s1,2
R 1 R LC 2L 2L
R α 2L
def
2
令
ω0
def
1 LC
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
d 2 uC ( t ) duC ( t ) CL GL uC ( t ) 0 2 dt dt RLC串联电路
iL(0-)=0.28A，求电容电压和电感 电流的零输入响应。 解：将R、L、C的值代入计算出固有频率
R 1 R s1， 3 32 5 2 3 j4 2 2L 2 L LC
则
2
uC ( t ) e3t [ K1 cos( 4t ) K 2 sin( 4t )]
－
I
II
III
s1和s2为相等的负实根
=0
R 即 2L
L ，或R 2 C LC 1
此时，微分方程的通解为 初始条件为
uC ( t ) ( A1 A2 t )e
αt
uC (0 ) uC (0 ) 0
i (0 ) I 0 uC (0 ) C C
1.t 0 ,
tet 0
2.t , tet 0
I II III
3.t 0, tet 0
总结
1. 二阶电路冲激响应的形式取决于电路的参数， 与初始条件无关。 2. 二阶电路冲激响应有过阻尼放电、临界阻尼 放电、欠阻尼放电、无阻尼放电等情形。 3. 二阶电路冲激响应形式的判据。（见下表）


I 0 t e sin(d t ) ( t ) C d
duC ( t ) I 0 t i(t ) C e sin d t d cos d t dt d I 0 0
d
e t cos( d t ) ( t )
I 0 t uC ( t ) e sin( d t ) ( t ) C d duC I 0 0 t i(t ) C e cos( d t ) ( t ) dt d
振荡放电（欠阻尼放电）
I
II u、I随时间变化的曲线 I II III IV III
I 0 t uC ( t ) e sin( d t ) ( t ) C d duC I 0 0 t i(t ) C e cos( d t ) ( t ) dt d
I0 I0 jd t jd t uC ( t ) (e e ) sin( d t ) ( t ) j 2C d C d duC i(t ) C I 0 cos( d t ) ( t ) dt
等幅振荡(无阻尼情形) u、i随时间变化的曲线