5
重数：
det(I A) ( 1 ) ( 2 ) ( P )
n1 n2 nP
其中： n1 n2 n p n ; i j (i j ) 称ni 为i的代数重数 （简称重数 ）； mi n rank(i I A)为i的几何重数(mi ni )； 如果ni＝1，则称i 为A的一个单特征值 ； 否则称i 为A的一个重特征值 ； 如果mi＝ni，则称该特征值 i 为A的一个半单特征值 ； 如果A的所有特征值都是半单 的，则称A是非亏损 的； A是非亏损的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量 。
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
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2 当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1 Ax A1 x A1 x
x A 1 x A 1 x 1 x
故 是矩阵A 的特征值, 且x是A 对应于
第四章 矩阵的特征值与 特征向量问题
1
第三章 矩阵的特征值与特征向量


4.1 幂法与反幂法 4.2 Jacobi方法（重点） 4.3 多项式方法求特征值问题（自学） 4.4 QR算法 （重点）
Givens矩阵； Householder矩阵； Gram-Schmidt正交化方法
2


3
n
I A ( 1 )( 2 ) ( n ) (1) k s k n k
k 0
n s1n 1 s 2 n 2 (1) n A 其中 : s k 为A中一切k阶主子式之和。
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注记
１. ２.
属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量． ３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而 言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
1 2 的特征向量 ,即有 Ax 1 x , Ax 2 x 1 x 2 x 1 2 x 0, 由于1 2 0, 与定义矛盾 . 则x 0,
因为, 如果设x同时是A的属于特征值 1 , 2的
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注记
4. 若λ是矩阵A的r重特征值，对应λ有s个线性 无关的特征向量，则1≤s≤r； 若A为实对称矩阵，则对应特征值λ 恰有r 个线性无 关的特征向量。
5.
实对称矩阵的特征值是实数，属于不同特 征值的特征向量正交。
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注记
6. 设 n 阶方阵 A aij 的特征值为1 , 2 ,, n , 记：
k 1 1 1 k 2 2 2
k x 0.
k 1,2,, m 1
k m m m
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把上列各式合写成矩阵形式，得 m 1 1 1 1 m 1 k1 x1 , k2 x2 ,, km xm 1 2 2 0,0,,0 1 m 1 m m 上式等号左端第二个矩 阵的行列式为范德蒙行 列
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特征值和特征向量的性质
定理： n 阶矩阵 A 与它的转置矩阵AT 有相同的特征值。 证明： 由( A I )T AT I 有：
A I ( A I ) A I
T T
即A与AT有相同的特征多项式，所以它们的特征值相同.
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定理： 若 是矩阵A 的特征值，x 是 A 的属于 的特征向量，则：
证明: 设有常数 k1 , k2 ,, km 使
k1 x1 k2 x2 km xm 0.
则 Ak1 x1 k2 x2 km xm 0, 由Axi xi 可得
k11 x1 k22 x2 km m xm 0,
k x k x
1 1 1
1
的特征向量.
★ 特征值和特征向量的性质:
A或AT
特征值

x
kA k
Am
A 1
1/
A*
A /
f ( A) f ( )
对应特征 向量 xxm x Nhomakorabeax
x
x
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定理 ： 设1 , 2 ,, m 是方阵A的m 个特征值, x1 , x2 ,
, xm 依次是与之对应的特征 向量。如果1 , 2 ,, m 各不相等, 则 x1 , x2 ,, xm 线性无关。
(1) m是Am的特征值m是任意常数. (2) 当A可逆时, 1是A1的特征值.
证明： 1 Ax x
2 2 A x x A Ax Ax Ax x m m A x x m 2 再继续施行上述步骤 次，就得
概述
定义： 设A是n阶方阵, 是一复数，如果方程 Ax x 存在非零解向量 , 则称 为方阵A的特征值, 相应的非零解向量x 称为与特征值 对应的特征向量, 此特征值 与特征向量x称为一特征对, P （ A的特征多项式 。 A ）＝det (I A)称为矩阵
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注记
1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而 言的.
2. n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
A I x 0 有非零解的 值 , 即满足方程
A I 0的都是矩阵A的特征值.
3. 是矩阵A的一个特征值，则一定 是 A λ I 0, 的根，因此又称 特征根 。若是 A I 0的k重根, 则称为A的k重特征值(根)。
式,当各i不相等时, 该行列式不等于 0, 从而该矩阵 可逆.于是有 k1 x1 , k2 x2 ,, km xm 0,0,,0,
即 k j x j 0 j 1,2,, m .但 x j 0,故 k j 0 j 1,2,, m .
所以向量组 x1 , x2 ,, xm 线性无关.