∴在△DBE 和△CFD 中 ,
∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF, ∴EB=AD.
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(3)
.
理由如下: 作DF∥BC交AC于点F,如图3所示: 同(1)得:△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF, ∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC, ∴△ADF是等腰直角三角形,
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【答案】 (1)作DF∥BC交AC于点F,如图1所示. ∴∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE, ∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A, ∴△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,∴AD=DF, ∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,
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几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边形的综 合探索与证明以及几何动态问题等.这是中考对几何推理与证明能力考查的必然体现,重 在提高学生对图形及性质的认识,训练学生的推理能力,解题时应注意演绎推理与合情推 理的结合.全国各地的中考数学试题都把几何探究问题作为中考的压轴题之一,安徽省中 考也是如此,如2016年的第23题、2015年的第23题、第2014年的第23题、2013年的第23 题等.预计2017年安徽中考中,这类问题仍是考查的重点之一,需重点复习.
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题型1 与全等三角形有关的探究 典例1 (2016· 山东泰安)(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是 直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①),求证:EB=AD; (2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图 ②),(1)的结论是否成立,并说明理由; (3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其他条件不变,则 结论,不要求写解答过程) 的值是多少?(直接写出
(3)如图 3,若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N,CN=1,CE= ,求
的值.
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图1
图2
图3
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∴DF=
.
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题型2 与相似三角形有关的探究 典例2 (2016· 内蒙古包头)如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中 ∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F分别是AC,AB边上的点,连接EF. (1)如图1,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形 ECBF=3S△EDF,求AE的长. (2)如图2,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA. ①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论; ②求EF的长.
【解析】本题考查三角形综合题.(1)先利用折叠的性质得到 EF⊥AB，△AEF≌ △DEF，则易得 S△ABC=4S△AEF，再证明 Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角 形的性质得到 ，再利用勾股定理求出 AB 即可得到 AE 的长.(2)①通 ， 求出 CM 长，再利用勾股 过证明四条边相等判断四边形 AEMF 为菱形；②连接 AM 交 EF 于点 O，设 AE=x，先证明△CME∽△CBA，得到
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-3-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何探究问题是中考必考题型,考查知识全面,综合性强,它把几何知识与代数知识有机 结合起来,渗透数形结合思想,重在考查分析问题的能力、逻辑思维推理能力.如折叠类型、 探究型、开放型、运动型、情境型等,背景鲜活,具有实用性和创造性,在考查考生计算能 力的同时,考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力,力求引 导考生将数学知识运用到实际生活中去.需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判 断等来确定所需求的结论、条件或方法,因而解题的策略是将其转化为封闭性问题. 常用的解题策略: 1.找特征或模型:如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等; 2.找思路:借助问与问之间的联系,寻找条件和思路; 3.照搬:照搬前一问的方法和思路解决问题,如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照 搬相似等; 4.找结构:寻找不变的结构,利用不变结构的特征解决问题.常见的不变结构及方法:有直 角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找相似,转比例.
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【解析】(1)作DF∥BC交AC于F,由已知得△ABC和△ADF均为等边三角形,则AD=DF,利 用AAS证明△DBE≌△CFD,得EB=DF,从而EB=AD;(2)作DF∥BC交AC的延长线于点F,同 (1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;(3)作DF∥BC交AC于点F,同(1) AD,即可得出 得:△DBE≌△CFD,得出EB=DF,证出△ADF是等腰直角三角形,得出DF= 结果.
在△DBE 和△CFD 中,
∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.
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(2)EB=AD成立. 理由如下: 作DF∥BC交AC的延长线于点F,如图2所示. 由(1)得AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD, 又∵∠DBE=∠DFC=60°,