一、电磁场的源——电荷与电流1、电荷与电荷密度宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。

定义体电荷密度为30m C d d lim−→∆⋅=∆∆=VQV Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。

当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述20m C d d lim−→∆⋅=∆∆=SQS Q S S ρ10m C d d lim −→∆⋅=∆∆=lQl Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线积分得到，即∫∫∫=VV Q d ρ、∫∫=SS S Q d ρ、∫=ll lQ d ρ2、电流与电流密度任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即As C d d lim10或−→∆⋅=∆∆=tQt Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。

体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。

电流密度的大小可表示为20m A lim−→∆⋅∆∆=SI J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即vJ r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为∫∫⋅=SSJ I r r d 同样，可以定义面电流密度为10m A lim −→∆⋅∆∆=l IJ l S vJ S S r r ⋅=ρ∫⋅=ls lJ I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则()∫∫∫∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。

若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V Vt S J V J d d d ρr r r于是，对于任意体积V ，都有tJ ∂∂−=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。

当导体内通过恒定的电流（直流）时，0=⋅∇J r 或0d =⋅∫∫SS J r r 这表明通过任意封闭曲面的净直流为零。

将封闭曲面S 收缩为一点，即可解释直流电路中的基尔霍夫电流定律。

二、静态场的基本方程1、库仑定律与电场强度若两个带电体的尺寸远远小于带电体之间的距离，则带电体可视为点电荷。

库仑定律是关于两个点电荷之间相互作用力的定量描述。

库仑定律叙述为：真空中两个点电荷之间相互作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相互排斥、异号电荷相互吸引，作用力的大小与两个点电荷电量的乘积成正比、与这两个点电荷之间的距离平方成反比。

()Ra R Q Q R R Q Q r r r r Q Q F r r r r r r r 202130211231202121444πεπεπε==−−=其中21F r 表示点电荷Q 1作用于点电荷Q 2的力，1r r 和2r r表示点电荷Q 1作用于点电荷Q 2的矢径（从原点到该点的距离矢量），R r是Q 1到Q 2的距离矢量，0ε为真空介电常数，其值为11290m F 10854.810361−−−⋅×≈×=πε电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的力（试验电荷应尽可能小，从而使原电场受到的影响可忽略不计），即110m V C N −−⋅⋅=或Q F E r r 因此真空中到点电荷Q 的距离为R 处的电场强度为RR Q E r r 304πε=若真空中有n 个点电荷，则空间中某点p 的总电场强度为∑==ni i ii R R Q E 13041r r πε其中i i r r R r r r −=表示从Q i 到p 点的距离矢量，r r 和i r r为分别为p 点和Q i 的矢径。

对于真空中有限区域V 内连续分布的体电荷，在V 之外任意一点处的电场强度为()()∫∫∫′′−′−′=VV r r r r r E d 4130rr r r rr ρπε类似地，面分布和线分布电荷产生的电场强度为()()∫∫′′−′−′=S S S r r r r r E d 4130r r r r rr ρπε()()∫′′−′−′=l l l r r r r r E d 4130rr r r r r ρπε2、高斯定理与电通量密度真空中，电通量密度（电位移矢量）可由电场强度定义为20m C −⋅=ED rr ε高斯定理叙述为：穿过真空或自由空间中任意一个封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的体积内的自由电荷量，即∫∫∫∫∫==⋅VSV Q S D d d ρrr 或∫∫∫∫∫==⋅V S VQ S E d 1d 00ρεεr r 对等式左端应用散度定理，得∫∫∫∫∫∫=⋅∇VVV V D d d ρr或∫∫∫∫∫∫=⋅∇VVVV E d 1d 0ρεr 即ρ=⋅∇D r或0ερ=⋅∇E r 表明空间任一点处电通量密度的散度等于该点的体电荷密度。

3、静电场的无旋性静电场由电荷产生，属于“有心力场”。

有心力场做功与路径无关，因此静电场是无旋场或保守场，即0d =⋅∫ll E r r 或0r r =×∇E 4、毕奥-萨伐尔定律与磁感应强度如图，真空中，两个载有直流I 1和I 2的回路l 1和l 2，安培总结出回路l 1对l 2的作用力为()Nd d 42121122021∫∫××=l l RRa l I l I F rr r r πµ此式称为安培力（磁场力）定律，0µ为真空磁导率，其值为170m H 104−−⋅×=πµ安培力定律可以改写为()∫∫∫∫∫×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛××=××=2212112221102221122021d d 4d d d 4ll l R l l RB l I R a l I l I R a l I l I F r r rr r rr r r πµπµ式中Td 4121101∫×=l RR a l I B r r r πµ其大小为∫=121101sin d 4l R l I B απµ1B r可视为回路l 1作用于回路l 2的单位电流元上的磁场力，它表征回路l 1在其周围建立的磁场特性的一个基本物理量，称为磁感应强度，单位特斯拉（T ）。

一般地，当载流导体置于外磁场中时，导体所受磁场力为∫×=lBl I F r r rd 由于()V J l S J l I d d d r r r =⋅=则∫∫∫×=VVB J F d r r r 这就是安培力定律的一般形式。

若运动速度为v r（v 远远小于真空光速c ）、电荷密度为ρ的体电荷在磁感应强度为B r 的磁场中运动，则电荷微元dQ 所受的磁场力为BQ v F r r r ×=d d 若电流以体密度分布在体积V 内或者以面密度分布在曲面S 上，则体电流及面电流在真空或自由空间中产生的磁感应强度分别为∫∫∫×=V V R R J B d 430rr r πµ∫∫×=S S SR R J B d 430r r r πµ5、磁通量与磁通连续性原理磁感应强度对一个曲面的面积分称为磁通量，故磁感应强度又称磁通量密度，即Wbd ∫∫⋅=ΦSSB r r 由于自然界中磁体的NS 极不能分开，因此由磁体N 极发出的磁力线条数应正好等于进入S 极的磁力线条数，这表明磁力线永远是闭合的；换而言之，穿过任一封闭曲面的磁通量恒等于零，即d =⋅∫∫SS B r r 这就是磁通连续性原理（或称磁的高斯定理）的积分形式。

左端利用散度定理，得()0d =⋅∇∫∫∫V V B r=⋅∇B r 这就是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁场的散度恒为零，磁场是无散场。

6、安培环路定律与磁场强度安培环路定律叙述为：真空中磁通量密度沿任意封闭曲线的线积分正比于此封闭曲线所包围的电流，即Il B l⋅=⋅∫0d µrr 类似于电通量密度的定义，将真空或自由空间的磁场强度定义为1m A −⋅=µB H r r 于是I l H l=⋅∫r r d 若封闭曲线包围的电流是以体电流密度形式分布的，则∫∫∫⋅=⋅SlSJ l H r r r r d d 方程左端应用斯托克斯定理化为面积分，得()∫∫∫∫⋅=×∇SSSJ S H r r r r d d JH r r =×∇这就是安培环路定律的微分形式，它表明磁场存在漩涡源。

三、电磁感应定律与全电流定律1、电磁感应定律法拉第（M.Faraday ）于1831年在实验中首次观察到，一个导线回路所交链的磁通量随时间变化时，回路中就感应一个电动势，且感应电动势的大小正比于磁通量随时间的变化率。

感应电动势的极性由楞次（E.Lenz ）定律决定。

楞次定律指出，感应电动势以及它所引起的感应电流力图使回路所交链的磁通量保持不变。

法拉第的实验结果和楞次定律相结合就称为法拉第电磁感应定律，简称为电磁感应定律，其数学表达式为te d d Φ−=由于导线回路内维持电流就必须在此导体内存在电场，因此可以用导体内的感应电场强度来定义感应电动势∫⋅=llE e r r d 积分路径l r是沿着导线回路的感应电流方向。

若闭合曲线包围的总磁通量为∫∫⋅=ΦS S B rr d ，则∫∫∫⋅−=⋅S l SB t l E r r r r d d dd 式中S rd 的方向与闭合曲线l r 的绕行方向之间满足右手螺旋关系。

这表明感应电场沿任意闭曲线的线积分等于该路径所交链磁通量随时间变化率的负值。

由于导线回路内磁通量的变化既可以由磁场随时间变化引起，也可以由回路本身在磁场中运动引起。

当导线回路在时变磁场中以速度v r运动时，总的感应电动势为()∫∫∫∫⋅×+⋅∂∂−==⋅l S l lB v S t B e l E r r r rrr r d d d 这就是电磁感应定律的积分形式，式中右端第一项代表磁场随时间变化引起的“感生电动势”，第二项代表回路运动引起的“动生电动势”。

利用斯托克斯定理，得()()∫∫∫∫∫∫⋅××∇+⋅∂∂−=⋅×∇SS SSB v S t B S E r r r r rr r d d d ()Bv tB E r r r r ××∇+∂∂−=×∇若回路是静止的，则tB E ∂∂−=×∇r r 这就是电磁感应定律的微分形式。