s( H v)ds v SJ vds v
因为S面是任意取的, 所以必有
vv HJ
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .5 两个补充的基本方程
在物理学中我们已知, 在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:
vv
Ñl Edl 0
v 利用斯托克斯定理可将左端化为▽×E的面积分, 从而得 E0
这是静电场的另一基本方程, 说明静电场是无旋场即保守场。静 电场的保守性质符合能量守恒定律。这样, 它和重力场性质相似。 物体在重力场中有一定的位能, 同样地, 电荷在静电场中也具有
第二章 电磁场基本方程
若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的, 则所 包围的总电量为
Q V vdv
VD vdvVvdv
上式对不同的V都应成立, 因此两边被积函数必定相等, 于是有
v
Dv
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度
图 2-2 两个载流回路间的作用力
一定的电位能。 从而可引入v电位函数φ:
E
第二章 电磁场基本方程
静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电 荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为 在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样, 闭合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数, 结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
v vv FIdlB
第二章 电磁场基本方程
或用运动速度为v的电荷Q表示, Idl=JAdl=ρvAdlv=Qv, 其中A为细导
线截面积, 得
FvQvvBv
对于点电荷q, 上式变成
FvqvvBv
通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所受的电场
力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所
设某点试验电荷q所受到的电场作用力为F, 则该点的电场强度为
v E
v F
(V
/
m)
q
由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为
v E
rˆ
q
4 0r
2
(2-4)
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度
除电场强度E外, 描述电场的另一个基本量是电通量密度D, 又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义:
D vE v(C/m 2)
ε是媒质的介电常数, 在真空中ε=ε0。 这样, 对真空中的点电荷q, 由式(2-4)知,
v D rˆ
q
4 r 2
第二章 电磁场基本方程
Ñ 电通量为
SD vdsv4qr24r2q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。 根据立体
角概念不难证明, 当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿
受的总力为
F vq(E vv vB v)
第二章 电磁场基本方程 例 2 .1 参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点 的磁通量密度。
图 2-3 载流直导线
第二章 电磁场基本方程
［解］ 采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距离矢量是
v
Rˆzˆ(zz'), R[2(zz')2]1/2
第二章 电磁场基本方程
F v4 0蜒 l l' Idlv(Ir2 'dlv'rˆ)
rˆ 式中, r是电流元I′dl′至Idl的距离, 是由dl′指向dl的单位矢量, μ0是
真空的磁导率:
04107 H/m
v
vv
FÑ l IdlB
B v4 0蜒 lI'd r lv 2 ' r ˆ4 0l'I'd r lv 3 ' r v
是米(m) , 千克(kg) , 秒(s)和安培(A)。 电磁学中其他单位都可由之
导出, 今已列在附录C中, 以供查用。在SI制中, 库仑定律表达为
v F
rˆ
q1q2
40r2
(N)
第二章 电磁场基本方程
式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介电
常数:
08.85 14 1 02 31 619 0 F/m
2 .1 .1 库仑定律和电场强度
图 2-1 两点电荷间的作用力
第二章 电磁场基本方程
v F
rˆK
q1q2
r2
式中, K是比例常数, 单位
矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。
比例常数K的数值与力 , 电荷及距离所用的单位有关。 本书
全部采用1960年国际计量大会通过的国际单位制(SI制), 基本单位
蜒 l Bv
v dl
l
ˆ
0I 2
ˆd
0
I
v B
v
Ñl 0 dl I
在简单媒质中, H由下式定义:
v H
v B
(A/ m)
第二章 电磁场基本方程
H称为磁场强度, μ是媒质的磁导率。在真空中μ=μ0, 于是有
vv
Ñ l Hdl I
这一关系式最先由安培基于实验在1823年提出, 故称之为安培环 路定律。它表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所 包围的电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律 可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。
第二章 电磁场基本方程
矢量B可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场力, 它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为 磁通量密度或磁感应强度。它的单位是
AN mVm2sW m2 bT
毕奥-萨伐(J .B .Biot-F .Savart, 法)定律, 于1820年独立地基于磁 针实验提出。
第二章 电磁场基本方程
第二章 电磁场基本方程
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 §2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律 §2.3 麦克斯韦方程组 §2.4 电磁场的边界条件 §2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 §2.6 唯一性定理
第二章 电磁场基本方程
§2 .1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
过一个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利
用叠加原理知, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电
量
Ñ SDvdsvQ
这就是高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出), 即
穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量。
对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求出D。
vv
dl 'Rzˆdz'[ˆzˆ(zz')]ˆdz'
v
Bˆ
0I
4
l
dz'
l 2 (zz')23/2
ˆ
0I
l z
l z
4 2 (zl)2 2 (zl)2
对无限长直导线, l→∞, 有
v B
ˆ
0I
2
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .4 安培环路定律, 磁场强度
, 若以ρ为半径绕其一周积分B, 可得