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有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
p
p 4q , 2
2
3
有两个不相等的实根 ( 0)
特征根为 r1
p
p 2 4q p p 2 4q , r2 , 2 2
两个线性无关的特解
y1 e ,
r1 x
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
解得 r1， 2 1 2 j , 故所求通解为
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
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例3
求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 2r2 + 2r + 3 = 0，它 有共轭复根
r1, 2 2 4 24 1 1 5i . 2 2 4
13
例4
求方程 y + 4y = 0 的通解.
解
该方程的特征方程为 r2 + 4 = 0，它有共轭
复根 r1,2 = 2i. 即 = 0， = 2. 对 应 的 两 个 线 性
无关的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解为
y C1 cos2 x C2 sin2 x.
1 1 即 , 5 , 对应的两个线性无关的解为 2 2 1 1 x x 5 所以方程的通解为 5 2 2 y1 e cos x , y2 e sin x , 2 2
ye
2018C cos 5 x C sin 5 x 1 . 2 2 2
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例3：已知y1 xe x e 2 x , y 2 xe x , y 3 xe x e 2 x e x 是二阶常系数线性非齐 次微分方程 y py qy e x 2 xe x 的三个特解，求此微分 方程。
2
r 2 2r1r r1 0
2 微分方程为 y 2r1 y r1 y 0
2
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有一对共轭复根 特征根为
( 0)
r2 j ,
r1 j ,
1 x y ( y y ) e cos x, 重新组合 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x, 2j
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二、二阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
rx
-----特征方程法
设 y e , 将其代入上方程, 得 ( r pr q )e 0
2 rx
e 0,
rx
故有
r pr q 0
2
特征方程
特征根 r1, 2
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y C1e x C2e3 x .
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例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0， 它 有 重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为 求得
y （C1 C2 x )e ,
2x
y C2e2 x 2(C1 C2 x)e2 x .
将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2， 因此，所求特解为
y = (1 + 2x)e2x.
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例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
得齐次方程的通解为
y1 e
( j ) x
,
y2 e
( j ) x
,
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
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定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 例1 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程为 解得
知 u 0,
rx 则 y xe , 取 u( x ) x , 2
1
得齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
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r1 x
;
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反之：
已知 y xe r1 x , 为方程的一个特解
如何求微分方程？
r为特征方程的重根
则特征方程为 ( r r1 ) 0
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
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一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y
( n)
P1 y
( n1 )
Pn1 y Pn y f ( x )
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x )
r 4r 4 0 ,
2
r1 r2 2 ,
2 x y ( C C x ) e . 故所求通解为 1 2
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例1
求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解
该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两
个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所以方 程的通 解为
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反之：
已知 y1
e r1 x ,
y2 e r2 x为方程的两个特解
如何求微分方程？
r1 , r2为特征方程的根
则特征方程为( r r1 )( r r2 ) 0
r 2 ( r1 r2 )r r1r2 0
微分方程为 y ( r1 r2 ) y r1r2 y 0