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第六章 布朗过程
布朗运动，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用 的随机过程之一，以发现它的英国植物学家罗伯特.布朗 命名，是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解 释是爱因斯坦于1905年给出，他证明，假设浸没的粒子 连续不断受到周围介质的分子的冲击，布朗运动即可解 释。1918年，维纳给出了布朗运动的简介定义。 自它被发现以来以来，有效的应用于一些领域，如拟合 优度的统计检验，分析股票市场的价格水平及量子力学。 迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随 机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。
若X (t )为布朗运动，均值为0，方差为t，
f ( x1,, xn ) ft1 ( x1 ) ft2 t1 ( x2 x1 ) ftn tn1 ( xn xn1 )

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例2：设X (t )为布朗运动，均值为0，方差为t， 求X(t) B给定时，X(s)的条件分布，其中s t.
Y(t)可以有效地用方差参数为 2 的布朗运动建模。求： （1）如果在赛道的中点，内道竞赛者领先 胜的概率是多少？ （2）如果内道竞赛者在竞赛中领先 秒获胜，问他在竞赛

秒，问他取
中点领先概率是多少？

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解：（1）
P{Y (1) 0 | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) } P{Y (1 / 2) } Y (1 / 2) P{ 2} ( 2 ) 0.9213 / 2
证明：由于{Z (t ), t 0}显然是高斯过程，需要验证的只是 E(Z(t) 0及s t时，Cov(Z(s),Z(t)) s(1 t).
前者显然，后者计算如 下：

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例2：设B(t )为一标准布朗运动，令 T Min{t : B(t ) 2 4t} 即T 是标准布朗运动首次击中2 - 4t的时间。用鞅的停止定理求E[T ].
证明：由鞅的停止定理 E[ B(T )] E[ B (0)] 0 由B(T ) 2 - 4T ,所以2 - 4E[T ] 0，求得E[T ] 1/ 2
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（2）需要计算
P{Y (1 / 2) 0 | Y (1) }
首先需要确定，在s t时，给定Y(t) C时Y(s)的条件分布。
若令X (t ) Y (t ) / , 则{ X (t ), t 0}是标准布朗运动 由例2，可得当给定X (t ) C / 时，X ( s)的条件分布是均值为sC / t ，方差为s(t - s) / t的正态分布。 因此，给定Y (t ) C时，Y ( s) X ( s)的条件分布是均值为sC / t，方差 2 s(t s) / t的正态分布。
令：f ( x) E[eTx ], 则f ( x y) f ( x) f ( y) 意味着：E[eTx ] ecx，对某个c 0

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下面确定c，对Y X (h) X (0)取条件，可得f 满足的微分方程
f ( x ) E[exp{ (h Tx Y )}] o (h ) e h E [ f (x Y )] o (h ) 其中o(h)是到时刻h已经击中x的概率。
解：条件密度是： x 2 ( B x) 2 f s ( x) f t s ( B x) f s / t ( x | B) K1 exp f t ( B) 2 s 2 ( t s ) t ( x Bs / t ) 2 K 2 exp 2s(t s)
利用e h 1 h o(h), 给出 f ( x) f ( x)(1 h) hf '( x) f ''( x)h / 2 o(h) 除以h并令h 0得 f ( x) f '( x) f ''( x ) / 2

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布朗运动的数字特征:
X (t ) E X t 0
D X (t ) D X t 2 t
2 2 E [ X ( s )( X ( s ) X ( t ) X ( s ))] E [ X ( s ) ] s, s t C X s, t RX s, t 2 2 E （ [ X ( s ) － X ( t ) ＋ X ( t ) ） X ( t )] E [ X ( t ) ] t, s t 2 min s, t s, t 0
布朗桥过程完全由其边际均值和协方差确定 E[ X ( s) | X (1) 0] 0 Cov[( X ( s), X (t )) | X (1) 0] E[ X (s ) X (t ) | X (1) 0] s (1- t ), s t 1
例4：设X (t )为布朗运动，则Z (t ) X (t ) - tX (1)时， {Z (t ),0 t 1}是布朗桥.
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（几何布朗运动在股票相对于时间的价格的建模中 有用，当感觉价格百分比变化是独立同分布时。 例如，假设Xn是某个股票在时刻n的价格，那么 假设 X n / X n1 , n 1 是独立同分布也许是合理的。


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布朗运动性质： （1）马尔可夫性； P{ X (t s) a | X ( s) x, X (u ),0 u s} P{ X (t s) X ( s) a x | X ( s) x, X (u ),0 u s} P{ X (t s) X ( s) a x | X ( s) x} P{ X (t s) a | X ( s) x} （2）标准布朗运动：

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击中时刻
以Tx 记漂移布朗运动击中x的时间。对x 0时，计算它的矩母 函数E[e Tx ].
首先计算： E[exp{ Tx y }] E[exp{ (Tx Tx y Tx }] E[exp{ Tx }]E[exp{ (Tx y Tx }] （由独立增量性） E[exp{ Tx }]E[exp{ Ty }] （由平稳性）
将上式x点有泰勒级数展开，形式的表示为： f ( x) e h E[ f ( x) f '( x)Y f ''( x )Y 2 / 2 ] o(h) e h [ f ( x ) f '( x ) h f ''( x )h / 2 ] o (h )
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令Yn X n / X n1 , n 1, 所以X n Yn X n1 , 迭代给出 X n YnYn1 Y1 X 0
于是 ln(X n ) ln(Yi ) ln(X 0 )
i 1 n
由于 ln Yi是独立同分布的，ln X i也将如此，在适当规范 后，近似于布朗运动， 所以 X i 近似的是几何布朗运动 。
E( X i ) 0,Var( X i ) 1
若令Δx Δt ,可得
t E ( X (t )) 0, Var ( X (t )) (x) [ ] t
2
E(X(t)) 0, Var(X(t)) 2t

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由式（1）和中心极限定理，得到X(t)的一些性质： （1）X(t)是正态的，均值为0，方差为 t
E X t 0 C s, t Cov( X (s, X (t )) min s, t s, t 0

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LOGO若{X (t ), t 0}为布朗运动过程， 条件随机过程{ X (t ),0 t 1| X (1) 0}是高斯过程，称之为布朗桥。
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另一个感兴趣的随机变 量是过程在 [0, t ]中达到的最大值。它的 分布可以如下得到：
P{max X ( s) a} P{Ta t} (由连续性）
0 s t
2 2


a/ t
e
y2 / 2
dy

显然，条件分布是正态分布，均值和方差为
E[ X (s) | X (t ) B] Bs / t Var ( X (s) | X (t ) B) s(t s) / t

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例3：在有两人比赛的自行车赛中，以Y(t)记当100t％的竞
赛完成时，从内道出发的竞赛者领先的时间秒数，且假设
2
（2）{X (t ),t 0}有独立增量（因为随机 游动在不重叠时间内变 化独立） （3）
{X (t ), t 0}有平稳增量（因为随机游动任一时间区间内变化分布只依赖于区间长度）

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（3）布朗运动的联合分布是多元正态的，所以布朗运动是高 斯过程。
定义：随机过程{ X (t ), t 0}称为高斯过程， 若对一切t1 ,, tn , X (t1 ),, X (tn )有多元正态分布。