衍射几何
B. 倒易点阵的性质 倒易点阵的基矢量：根据倒易点阵定义式，可得出 a*⋅ b=a*⋅ c=b*⋅ a=b*⋅ c=c*⋅ a=c*⋅ b=0 由此可确定倒易点阵基本矢量的方向； 而由 a*⋅ a=b*⋅ b=c*⋅ c=1 可确定倒易点阵基矢的大小。
1 1 a = = * a cos(a , a ) d100
= f 2 [1 + cos π ( K + L) + cos π ( H + K ) + cos π ( H + L)]2
（1）当H、K、L全为奇数或全为偶数时，|FHKL|2=f2（1+1+1+1）2=16f2， 表明这样的晶面可产生衍射。如：111，200，220，311，222，400 …. （2）当H、K、L奇偶混杂时，|FHKL|2=f2（1-1+1-1）2=0，表明这种晶面 的衍射强度为零，禁止产生衍射。
取晶胞顶点O为坐标原点，A为单 胞内任意原子j，其坐标矢量表示为： OA = rj=Xja + Yjb + Zjc Xj, Yj, Zj为A原子的坐标。
O k k A k′ rj k′
A原子与O原子间散射波的波程差为：
r r r r r r r δ j = rj ⋅ k ′ − rj ⋅ k = rj ⋅ (k ′ − k )
衍射几何 一、布拉格方程
2dsin θ = n λ 其中，d为晶面间距 θ为衍射半角 衍射产生的必要条件：反射受λ、 θ 、d的制约。反射线实质是各原 子面反射方向上散射线干涉加强的结果，即衍射。此处“反射”与“衍 射”可不作区别。 干涉指数和干涉面：将布拉格方程改写成 2dHKLsin θ = λ 其中，dHKL＝d/n， H=nh，K=nk，L=nl。即把 (hkl)晶面的n级反射看 成是与之平行、面间距为d/n的晶面(HKL)的一级反射。(HKL)不一定是 真实的原子面，通常称为干涉面，而将 (HKL)称为干涉指数。
= f 2 [1 + cos π ( H + K + L)]2
（1）当H+K+L=奇数时，|FHKL|2=f2（1-1）2=0，表明这种晶面的 衍射强度为零，禁止产生衍射。如：100，111，210，311 …. （2）当H+K+L=偶数时，|FHKL|2=f2（1+1）2=4f2，表明指数和 为偶数的晶面可产生衍射。如：110，200，211，220，310 ….
电子衍射原理
1. 为什么说电子衍射花样是倒易点阵平面的放大投影？
倒易点阵？ 倒易矢量的两个基本性质？ 倒易点阵平面与正空间点阵的关系（晶带定律）
2.电子衍射图的类别有哪些？
3.如何获得电子衍射图（pattern)？
选区电子衍射(SAED) 会聚束电子衍射(CBED) 纳米束电子衍射(NBED) ……
j =1
n
所以，一个晶胞的散射强度: Ib=|Ab|2 ∝ |FHKL|2
结构因子
可测量的x射线衍射强度IHKL与 |FHKL|2成正比，一般FHKL为 复数，可通过乘以其共轭复数来求|FHKL|2值。
* | FHKL |2 = F HKL⋅FHKL = [∑ f j cos 2π ( HX j + KY j + LZ j )]2 j =1 n
衍射几何 四、厄瓦尔德图 －衍射几何关系
r r r r r* r* r* Δk = k ′ − k = g hkl = ha + kb + lc
以晶体点阵原点O为圆心，以为 半径1/λ作一圆球面，从O作入射 波波矢k，其端点O为相应的倒 易点阵的原点，称为厄瓦尔德反 射球。 当倒易阵点G与反射球面相截 时，衍射方程成立，即衍射波矢 k′就是从球心到这个倒易阵点的 连线方向。
A. 简单点阵 单胞中只有1个阵点，坐标(0, 0, 0)，阵点形式散射因子 （类比于原子散射因子）f，则
| FHKL |2 = [ f cos 2π (0)]2 + [ f sin 2π (0)]2 = f 2
| FHKL |= f
HKL是任何数时，|FHKL|2≠0，表明所有的晶面均可以产 生衍射。
r r δj r k′− k = 2πrj ⋅ φ = 2π
相位差为：
λ
λ
结构因子
考虑干涉加强方向，代入衍射矢量方程:
r g HKL = r r k′− k
λ
r g HKL = Ha* + Kb* + Lc *
相位差:
r r φ = 2πrj ⋅ g HKL = 2π ( X j a + Y j b + Z j c) ⋅ ( Ha* + Kb* + Lc * )
衍射几何
X射线单晶衍射
电子衍射几何
加速电压为200kV，入射电子束波 长λ=0.0025nm。沿[001]方向入射 Al单晶体，用Ewald图解法考察发 生衍射情况. Al，fcc结构，a ≈ 0.4nm。则， 1/λ=400nm-1，|r*020|=5nm-1 两者80倍关系。 由于反射球半径相对于倒易点间距 来说很大，在倒易原点可将反射球 近似看成平面，所以，一个倒易平 面上的倒易点同时与反射球相截， 同时产生了衍射。
Au
8 6 4 2 0 0.0
Ag Z=47 Co Al
Z=79
Z=27 C Z=13 Z=6
0.2 0.4 0.6
−1
0.8
sinθ/λ (Α )
衍射花样与晶体结构
原子散射波互相干涉 从衍射花样 衍射花样的特征： 衍射线束方向 衍射线束的强度
⇒ ⇒
形成的衍射花样 晶体内部的原子分布规律
⇐ ⇐
晶胞大小、形状 原子种类、在晶胞中位置
*
1 1 b = = * b cos(b , b) d 010
*
1 1 c = = * c cos(c , c) d 001
*
衍射几何
C. 晶面与倒易矢量的对应关系: 一个晶面对应一个倒易点
衍射几何
单晶体对应三维倒易点阵：与相对应的正点阵属于同一晶系。
倒易（点阵）矢量 定义：在倒易空间 内 ，
1.
2.
衍射几何 二. 倒易点阵
A. 倒易点阵的定义
把晶体点阵所占据的空间称为正空间，相应的点阵为正点阵。
倒易点阵定义：设正点阵的基本矢量为a、b、c，定义相 应的倒易点阵基本矢量为a*、 b*、 c*，则有
b×c * c× a * a×b ;b = ;c = a = V V V
*
式中，V是正点阵单胞体积 V=a⋅(b×c)=b⋅(c×b)= c⋅(a×b)
ghkl
k′
Δk
k = k′ =
1
λ
r | Δk | r sin θ = 2 |k |
k
r 1 g hkl = d hkl r g hkl ⊥ (hkl )晶面
r r r k ′ − k = Δk
倒易矢量基本性质
若 所以
r r Δk = g hkl
则
2d hkl sin θ = λ
——衍射矢量方程
r r r k ′ − k = g hkl
透射电镜中电子衍射
物镜背焦面上形成 电子衍射花样 物镜下面的中间镜 和投影镜接续将背 焦面上衍射图样放 大到荧光屏上
透射电镜中电子衍射
典型电子衍射花样（单晶）
Sm4Cu1.6Zn1.4MoO12化合物[0001]带轴
透射电镜中电子衍射
在透射电镜中： tg2θ = r/f 即 所以 r = f ⋅ tg2θ ≈ f ⋅ 2θ =f ⋅ 2sin θ r = f ⋅ λ/dhkl
fx——原子对x射线的散射因子 fx ~ 10 - 4× fe
原子对电子波的散射
• 原子散射因子随散射 角增大而单调减小， 随波长减小（加速电 压增加）而减小，是 sinθ/λ的函数，与原子 序数成正比； • 原子散射因子是有条 件的常数，各元素的 原子散射因子可查国 际晶体学表表获得。
f(θ)
12 10
iφ1 iφ 2
+ ... + f j e
iφ j
+ ... + f n e ) = ∑ f j e
iφ n j =1
n
iφ j
结构因子
定义结构因子FHKL：
F HKL =
三角函数表达：
∑
n
j =1
f je
i ⋅ 2 π ( HX j + KY j + LZ j )
FHKL = ∑ f j [cos2π ( HX j + KY j + LZ j ) + i sin 2π ( HX j + KY j + LZ j )]
+ [∑ f j sin 2π ( HX j + KY j + LZ j )]2
j =1
n
定义结构振幅：
| FHKL |= | FHKL ⋅ F * HKL |
结构振幅平方|FHKL|2与衍射强度IHKL正比，其表达式中有原 子种类、原子数目以及原子位置，所以说这三个因数影响x 射线的衍射强度。
五种点阵的结构因子计算
五种点阵的结构因子计算
D. 底心点阵
C 底心单胞中有2个阵点，坐标(0, 0, 0)， (1/2, 1/2 , 0 ) ，阵点 形式散射因子f，则
| FHKL |2 = [ f cos 2π (0) + f cos 2π ( H K 2 H K + )] + [ f sin 2π (0) + f sin 2π ( + )]2 2 2 2 2
在荧光屏上观察到的衍射斑距透射斑 的距离为： R = Mi ⋅Mp ⋅f ⋅ λ/dhkl 所以