2 机械优化设计的基本术语和数学模型
2.2 机械优化设计的基本概念和术语
二、目标函数
三、设计约束
四、可行域与非可行域 五、目标函数的等值（面）
2.3 优化设计的数学模型
2.4 优化问题的几何描述
约束优化问题中，不等式约束的极限条件：
gu ( X ) 0 u 1,2...m
①可行域： D { gu (X ) 0 u 1,2m}
的矢量 X x1 x2 xn T ，恒有 f (X ) 0，则相
应的系数对称矩阵A称为正定矩阵 相应的函数 f (X ) 为“正定二次型函数”
类似地，若对于任何矢量 X 0 ,总有 X T AX 0 ，则称A为负定矩阵。相应的函数 f ( X ) 为“负定 二次型函数”
如对于某些矢量 X 有 f (X ) 0 ，另一 些矢量 X 又有 f (X ) 0 ，则称矩阵A 为不定 矩阵，相应的函数 f (X )为“不定二次型函数”
① 直接法 —按已有信息和再生信息进行试探及迭代求优 的数值法
② 间接法 —利用函数性态、通过微分或变分求优的解析法 ③ 图解法 —在设计空间内，画出目标函数、约束函数的图
形找到最优解 ④ 实验法 —由实验直接找出最优解
二、优化设计的数值迭代计算法
1、迭代过程与格式
x2
步步下降， 3 步步逼近，
2 最终极其靠 近最优点!
2、正定性的判别
（1）若对称矩阵 A 正定，其充要条件是矩阵行列式 A 的各阶主子式值均大于0
a11 a12 a1n
a11

0,
a11 a21
a12 a22

0,,
a21
a22

a2n
0
an1 an2 ann
（2）、若矩阵A负定，其充要条件是矩阵行列式
若令：
X

x1

x2

A

a11 a21
a12
a22

(a12 a21)
B

b1 b2

若令：
X

x1

x2

A

a11 a21
a12
a22

B

b1 b2

则按矩阵运算法则，上面函数的矩阵表达式：
f ( X ) 1 X T AX BT X C （＊）
1
O
X (3)
X (1)
X (0)
X (2)
X (4)
X (*)
1
2
3
x1
迭代格式：
X (K 1) X (K ) (K ) S (K )
K 0,1, 2... （）
X (K )__前次迭代点（老点） X (K 1) __ 本次所得新点
S (K )、 (K ) —第K次迭代点的搜索方向和步长
(*)式使用条件： 1、适用性要求 f ( X (K 1) ) f ( X (K) )
2、可行性要求 X (K) ,K 0,1,2...} D
(约束优化问题）
2、数值迭代算法的收敛性和终止准则
㈠、无约束优化问题
1、点距准则 2、函数下降量准则
X (k+1) - X (k ) ≤ ε f (X (k+1) ) - f (X (k ) ) ≤ ε
3.1 函数的二次型与矩阵的正定 一、函数的二次型 二、正定矩阵及其判别法
1、了解优化方法的类型 2、掌握 “数值迭代法”的基本原理 3、熟悉正定二次函数的2个性质及其意义 4、明确数值迭代法的常用终止准则
2.5 优化设计的基本方法
一、优化方法的类型
1、单目标优化方法和多目标优化方法 2、一维优化方法和多维优化方法 3、无约束优化方法和约束优化方法 4、按求优途径：
2
式中：A一对称方阵（∵ a12 a21 ）
（＊）式同样也是多元二次函数的矩阵表达式
x1 xn

a11 a12 a1n
b1
A

a21
a22

a2n


B

b2


an1
an2

ann

nn
bn

其中：A— n×n阶对称方阵 (aij a ji )
一、函数的二次型：
对于二元函数的二次型：
f ( X ) a11x12 a12 x1x2 a21x2 x1 a22 x22 (a12 a21)
上式写成矩阵形式：
f ( X ) X T AX x1
x2
a11 a21
① 在极值处，函数的等值线聚成一点，并位于等值线 族的中心。
② 当该中心为极小值时，离中心线愈远，函数值愈大。 ③ 当目标函数值的变化范围一定时，等值线越稀疏，
说明函数值的变化愈平缓
F(X)
F(X)= c1 F(X)= c2 F(X)= c3
O
x2 有心等值线族
F(X)= f( x1, x2)
c1 c2c3
3、梯度准则
f (X (k+1) ) - f (X (k ) ) f (X (k ) )
≤ε
∇f (X (k ) ) ≤ ε
㈡ 约束优化问题的终止准则
3 优化方法的数学基础
3.1 函数的二次型与矩阵的正定
f
(X
)

1 2
(a11x12

a12 x1x2

a21x1x2

a22 x22 )
b1x1 b2 x2 c
D { gu (X ) 0 hv (X ) 0
u 1,2m v 1,2 p＜n}
②非可行域：可行域以外的区域
等值线（面）： 具有相同目标函数值的点集在设计
空间形成的曲线和曲面
其数学表达式：
f (X ) Ci
Ci (i 1,2) —“一系列常数”
总结：(2维问题3维、n维）
a12 x1
a22


x2

此式也是“多元函数的二次型”的矩阵形式
函数的二次型: f ( X ) X T AX
X x1 x2 xn T
式中：A—n阶对称方阵 (aij a ji )
A与f一一对应！
二、正定矩阵及其判别法
1、正定的概念
设有二次型 f (X ) X T AX ，若对于任意不为“ 0 ”
x1
X*
2.3 优化设计的数学模型
数学模型的一般表达式 min f ( X ) X D Rn s.t. gu ( X ) 0 u 1, 2...m hv ( X ) 0 v 1, 2...p n
2 机械优化设计的基本术语和数学模型
2.5 优化设计的基本方法
3 优化方法的数学基础