三角形1. 三角形内角和定理的应用例1. 如图1，已知∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，E 是AD 上一点。

求证：∠>∠BED C2. 三角形三边关系的应用例2. 已知：如图2，在∆ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。

求证：()AM AB AC >-123. 角平分线定理的应用例3. 如图3，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。

求证：AM 平分DAB 。

4. 全等三角形的应用（1）构造全等三角形解决问题例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。

求证： AMN的周长等于2。

（2）“全等三角形”在综合题中的应用例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。

点B在AE的延长线上，点D在AF上。

若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。

求AC的长。

5、中考点拨例6. 如图，在∆ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD ＋CE ＝9，则线段DE 的长为（ ） A. 9B. 8C. 7D. 66、题型展示例7. 已知：如图6，∆ABC 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =12。

求证：BD 平分∠ABC例8. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。

如图7，在正三角形ABC 花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD 为多少度时，才能达到上述要求？【实战模拟】1. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。

2. 在锐角∆ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。

3. 如图所示，D是∆ABC的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。

试比较∠BAC与∠B 的大小关系。

4. 如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，M 是AC 中点，AE ⊥BM 。

求证：∠AMB ＝∠CMD5. 设三个正数a 、b 、c 满足()()a b ca b c 22224442++>++，求证：a 、b 、c 一定是某个三角形三边的长。

【试题答案】1.证明：由AD ⊥BC 于D ，可得∠CAD ＝∠ABC 又∠=∠+∠ABD ABE EBD 则∠∠ABD EBD > 可证∠∠CAD EBD > 即∠∠BED C >说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

2.证明：延长AM 到D ，使MD ＝AM ，连接BD在∆CMA 和∆BMD 中，AM DM AMC DMB CM BM ===，∠∠，∴≅∴=∆∆CMA BMDBD AC在∆ABD 中，AB BD AD -<，而AD AM =2()∴-<∴>-AB AC AMAM AB AC 212说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AM AB AC >-，然后通过倍长中线的方法，相当于将∆AMC 绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。

很自然有()()1212AB AC AM AB AC -<<+。

请同学们自己试着证明。

3.证明：过M 作MG ⊥AD 于G ，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥DC ，MG ⊥AD ∴MC ＝MG （在角的平分线上的点到角的两边距离相等） ∵MC ＝MB ，∴MG ＝MB 而MG ⊥AD ，MB ⊥AB∴M 在∠ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） ∴DM 平分∠ADC说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG ＝MB 。

同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。

4. 分析：欲证∆AMN 的周长等于2，需证明它等于等边∆ABC 的两边的长，只需证MN BM CN =+。

采用旋转构造全等的方法来解决。

证明：以点D 为旋转中心，将∆DBM 顺时针旋转120°，点B 落在点C 的位置，点M 落在M'点的位置。

得：∠MBD ＝∠NCD ＝90°∴≅∴==︒Rt MBD Rt M CD DCM DBM ∆∆''∠∠90∴∠NCD 与∠DCM'构成平角，且BM ＝CM'，DM ＝DM'，∠NDM'＝∠NDC ＋∠CDM'＝∠NDC＋∠BDM ＝120°－60°＝60° 在∆MDN 和∆M DN '中，DM DM MDN M DN DN DN ===︒=''，∠∠，60∴≅∴==+=+∴=+∆∆MDN M DN SAS MN M NM N M C CN BM CN MN BM CN'()'''∴∆AMN 的周长=++=+++=+=AM AN MN AM AN BM CN AB AC 2 说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。

5.分析：要求AC 的长，需在直角三角形ACE 中知AE 、CE 的长，而AE 、CE 均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE 、CE 的长，使问题得以解决。

解：∵AC 平分∠FAE ，CF ⊥AF ，CE ⊥AE ∴CF ＝CECF CE F CEA AC AC ACF ACE HL AF AECF CE CD BCF CEB CDF CBE HL ===︒=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=====︒⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∠∠∠∠9090∆∆∆∆()()∴BE ＝DF设BE DF x ==，则AE AB BE x AF AD DF x =-=-=+=+219， AE AF x x x =∴-=+∴=，，2196 在Rt BCE ∆中，CE BC BE =-=-=22221068 在Rt ACE ∆中，()AC AE CE =+=-+=2222216817答：AC 的长为17。

6.分析：初看此题，看到DE ＝DF ＋FE 后，就想把DF 和FE 的长逐个求出后再相加得DE ，但由于DF 与FE 的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD ＋CE ＝9”，就应想一想，DF ＋FE 是否与BD ＋CE 相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DF ＋FE 也就是DE 的长了。

解：∵BF 是∠B 的平分线 ∴∠DBF ＝∠CBF 又DE ∥BC ∴∠DFB ＝∠CBF ∴∠BDF ＝∠DFB ∴DF ＝BD 同理，FE ＝CE ∴DF ＋FE ＝BD ＋CE ＝9 即DE ＝9 故选A7.分析：要证∠ABD ＝∠CBD ，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。

注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。

简证：延长AE 交BC 的延长线于F 易证∆∆ACF BCD ≅（ASA 或AAS ）∴==∴==AF BDAE BDAE AF EF1212于是又不难证得∆∆BAE BFE SAS ≅() ∴=∠∠ABD CBD ∴BD 平分∠BAC说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。

8.分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D 为正∆ABC 内一点，P 为正∆ABC 外一点，PB ＝AB ，AD ＝BD ，∠DBP ＝∠DBC ，求∠BPD ＝？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。

解：连CDBP AB BC DBP DBC BD BD PBD CBD SAS BPD BCD ====⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∠∠∠∠∆∆()又 AC BC AD BD CD CD ===⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴==︒∆∆ACD BCD SSS ACD BCD ()∠∠30∴=︒∠BPD 30，即∠BPD =︒30时，才能达到要求。

实战模拟答案 1. 5cm 2. 45°3. 分析：如图所示，∠BAC 是∆ACD 的外角，所以∠>∠BAC 1 因为∠1＝∠2，所以∠BAC ＞∠2又因为∠2是∆BCD 的外角，所以∠2＞∠B ，问题得证。

答：∠BAC ＞∠B∵∠CD 平分∠ACE ，∴∠1＝∠2 ∵∠BAC ＞∠1，∴∠BAC ＞∠2 ∵∠2＞∠B ，∴∠BAC ＞∠B4. 证明一：过点C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线于F∠∠∠∠∠∠129012+=+=︒∴=BAE BAE又∠BAC ＝∠ACF ＝90° AC ＝AB∴≅∴==∆∆ABM CAFAM CF F AMB，∠∠又AM ＝MC ，∴MC ＝CF 又∠3＝∠4＝45°，CD ＝CD ∴≅∆∆CDM CDF∴=∴=∠∠∠∠F CMD AMB CMD证明二：过点A 作AN 平分∠BAC 交BM 于N∠∠∠∠∠∠239023+=+=︒∴=BAE BAE又AN 平分∠BAC∴==︒∠∠145C又AB ＝AC∴≅∴=∆∆ABN CADAN CD又∠∠NAM C ==︒45AM ＝CM∴≅∴=∆∆NAM DCM AMB CMD ∠∠说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。

若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。

5. 证明：由已知得：a b c a b b c c a a b c 444222222444222222+++++>++即a b c a b b c c a 4442222222220++---<()()∴++--+-<+-++-<a b a b c a b c c a b a b c a b c a b 4422222242222222242222240240()()()[]()[]()[]()[]()()()()()()()()()()a b c ab a b c ab a b c ab a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b 22222222222222220220+--<+-++--<+---<+++--+--<++>∴+--+--<∴+-+-+-> ∴a b c 、、是某一三角形三边的长。