1.弹力是保守力，作功与路径无关。
2.弹力作功等于势能增量的负值。
3.弹性势能总是大于等于0。
Ep
1 2
kx
2
4.弹性0势点一般选在弹簧的平衡位置。

§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
三、功能原理
利用质点系的动能定理：
n
n
Wi外 Wi内 E k E k 0 E k
i 1
i 1
n
其中内力作功的代数和项 Wi内 可分为 i 1
第四节
保守力、势能 功能原理
一、什么是保守力
作功与路径无关，只与始末位置有关的 力为保守力，作功与路径有关的力为非保 守力。
二、势能
1.势能：由于物体的位置（或状态）的变 化而具有的能量为势能。
2.引入势能条件：
①质点系; ②保守力作功。
重力、弹簧的弹力，电场力都是保守力。
§4.保守力、势能、功能原理 / 一保守力、二势能
即当外力对质点系内质点作功之和为负时，
其内部机械能将减少。
§4.保守力、势能、功能原理 / 四、注意几点
五、应用功能原理解题方法
1.确定研究对象，必须是质点系。
2.受力分析，不考虑保守力和不作功的力。
3.确定势能0点，以及始末两态的机械能E0、
E。
n
n
4. 列方程求解。 Wi外 Wi内非 E
A
A点物体动能 E k 0 0
mg cos dr W阻 E k
W阻
1 2
mv
2
90
0
mg
cos Rd
1 mv 2 mgR 2
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
R
o
f
n
mg
B
解3：功能原理
n
n
由功能原理： Wi外 Wi内非 E
i 1
i 1
以物体和地球为研究对象，
i 1
i 1
下面举例应用功的定义、动能定理和功能
原理三种方法进行比较，看看哪一种方法
好？
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
例：质量为 m 的物体从一个半径为 R 的
1/4 圆弧型表面滑下，到达底部时的速度
为 v,求 A 到 B 过程中摩擦力所做的功？
解1：功的定义 以m为研究对象，
§4.保守力、势能、功能原理 / 四、注意几点
n
n
Wi外 Wi内非 E
i 1
i 1
n
n
3.当 Wi内非 0 时， Wi外 E E 0
i 1
i 1
若
n
Wi外 0
则 E E0 0
i 1
即当外力对质点系内质点作功之和为正时，
其内部机械能将增加；
n
若 Wi外 0 则 E E0 0 i 1
2
F弹 x
o x0
F弹 x
ox
可知，弹力作功与路径无关，只与始末两
态的弹簧伸长量有关，弹力为保守力。
定义弹性势能：
Ep
1 kx 2
2
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
W弹 E p0 E p (E p E p0 ) E p
弹力作功等于势能增量的负值；或弹 力作功物体的势能减少。 单位：焦耳，J 注意几点：
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
⑤.重力0势点一般选在物体运动的最低点。
4.弹性势能 由第一节的弹
力作功的结论，
W弹
1 2
kx
2 0
1 2
kx
i 1
i 1
定义机械能：为物体系的动能与势能之和。
E Ek Ep
E 1 mv 2 mgh 1 kx 2
2
2
§4.保守力、势能、功能原理 / 三、功能原理
功能原理
n
n
Wi外 Wi内非 E
i 1
i 1
功能原理：系统外力与内部非保守力作功 的代数和，等于系统机械能的增量。
四、注意几点 1.在应用功能原理时，不必考虑保守力的 功，因为这部分功以变成势能增量的负值。
系统内部保守力的功和内部非保守力的功，
n
n
n
Wi内 Wi内保 Wi内非
i 1
i 1
i 1
由保守力作功等于势能增量的负值的结论，
§4.保守力、势能、功能原理 / 三、功能原理
n
n
n
Wi外 Wi内保 Wi内非 E k
i 1
i 1
i 1
n
Wi内保 E p
i 1
n
n
Wi外 Wi内非 E k E p (E k E p )
m A
R
o
建立自然坐标系，受 力分析。
f
n
列切向受力方程：
N
F ma
mg cos f
m dv dt
ma
m
dv dt
C
mg
B
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
f mg cos m dv
摩擦力的功 dt
A
R
o
f N n
d
W阻 fdr
mg cos dr
m dv dr dr
o
f
n
W阻 E B E A
1 mv 2 mgR
2
B
可以看出，用功能原理计算最简单。
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
例2：一物体质量为 2kg，以初速 3.0m/s 从斜面的点 A 处下滑，它与斜面之间的 摩擦力为 8N，到达点 B 时，压缩弹簧 20cm 达到C点停止，然后又被弹送回去。 求弹簧的劲度系数k和物体最后能到达的 高度h’。设弹簧系统的质量略去不计。
3.重力势能
以地球和物体为系统，物体从距地面
h0的高度，下落到h高度，重力作功为：
W重 mgh 0 mgh
重力作功与路径无
关，只与始末位置
mg
有关,重力是保守力。 h0
定义重力势能Ep：
E p mgh
h
W重 E p0 E p
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
W重 mgh 0 mgh E p0 E p
(E p E p0 ) E p
重力作功等于势能增量的负值；或重 力作功物体的势能减少。 单位：焦耳，J
注意几点：
①.势能是系统的，如说物体的势能不切确。 ②.重力是保守力，作功与路径无关。 ③.重力作功等于势能增量的负值。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
dt
mg
B
由 dr Rd ,v dr
dt
W阻
90
0
mg
cos Rd
0v
mvdv
mgR 1 mv 2
2
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
解2：动能定理 由质点动能定理： W E k E k 0 E k 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 W阻 E k E k 0
受力分析，不考虑保守 A 力重力和不作功的力弹
力N，只有摩擦力-----内
部非保守力 f 作功，
n
Wi外 0
i 1
R
o
f
n
B
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
n
Wi内非 W阻
i 1
选择 B 点为重力 0 势点，A、B 两点的机械
能：
E A mgR
EB
1 mv 2 2
A
R