《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计
商州区中学秦明伟
一、学情分析
本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。
在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。
二、教学内容分析
本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。
由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。
从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。
从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。
基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变
换的学习打好基础。
三、教学三维目标
1、知识目标
通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。
2、能力目标
通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。
3、情感目标
使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
四、教学重点、难点
重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。
难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。
五、教学过程
导入新课
直接提出向量的主要作用之一就是解决几何度量问题，如长度、夹角的问题。
让学生回忆单位圆及向量的数量积的知识，结合课件进行差角的余弦公式探究的学习，进而推导其他的和差公式
新知探究
提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中
的数量积与三角函数线作为研究途径。
如右图，在单位圆中作出角βα,，它们的终边
与单位圆分别交于A 、B 两点，先假设[]π,0,∈βα，
且βα≥，提出以下问题：
（1） 图中哪个角可以表示βα-？
（2） βα-可以看作是哪两个向量的夹角？
在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A 、点B 的坐标。
证明过程：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为 始边作角βα,，其中[]π,0,∈βα，且βα≥，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则 )sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==
由向量数量积的坐标表示，有：
βαβαββααsin sin cos cos )sin ,(cos )sin ,(cos +=∙=∙
由[]π,0,∈βα，且βα≥知[]πβα,0∈-，那么向量的夹角就是βα-，由数量积的定义，有
)cos()cos(βαβα-=-=∙OB OA
于是βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- （1） 由于我们前面的推导均是在[]π,0,∈βα，且βα≥的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。
事实上，只要[]πβα,0∈-，βα-所表示的就是向量的夹角。
但是，若[]πβα,0∉-，（1）式是否依然成立呢？
当[]πβα,0∉-时，设与的夹角为θ，则
θθcos ==∙βαβαsin sin cos cos +=
另一方面，θβπα++=k 2，于是,,2Z k k ∈+=-θπβα所以θβαcos )cos(=- 也有 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
综上所述，得出公式：
对于任意角βα,，
观察公式形式，让学生思考如何推导其余公式？
提示：)(βαβα--=+；)](2cos[)sin(βαπ
βα+-=+；
通过学生自己推导，得到两角和与差的正弦、余弦公式：
对任意角βα,，都有
总结公式的特点，便于学生记忆。
注： 1.公式的结构特点:余弦公式：余余正正异相连；正弦公式：正余余正同相连；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出sin(α+β)、cos(α+β)、 sin(α-β) 、 cos(α-β) ；
3.式子中α、β是任意的；
4.公式的正用和逆用。
例题讲解
例1 利用所学公式求︒15cos 。
解：
方法一:42630sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(15cos +=
︒︒+︒︒=︒-︒=︒ 方法二：4
6245sin 60sin 45cos 60cos )4560cos(15cos +=
︒︒+︒︒=︒-︒=︒ 思考：如何求︒75sin ？ 的值求：已知例)4
(cos ),,2(,53cos 2απππαα-∈-= 解：απαπαπααππααsin 4sin cos 4cos )4(cos 54cos -1sin ,2,53-cos 2+=-==⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈=故，所以因为 10
254225322=⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= 的值求：已知例)sin(),2
3,(,43cos ),,2(,32sin 3βαππββππαα+∈=∈= 解题思路： 求解最后代入公式再求先求)sin(,sin ,cos βαβα+
解：由⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,32sin ，得35sin 1cos 2-=--=αα 又由)23,
(,43
cos ππββ∈=，得4
7cos 1sin 2-=--=ββ 所以
βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ 1235647354332+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=
化简求值
︒
︒-︒︒︒
︒+︒︒︒︒-︒︒︒
︒-︒︒︒
︒+︒︒50cos 70cos 50sin 70sin )5(5sin 130cos 5cos 130sin )4(35sin 25sin 35cos 25cos )3(20sin 80cos 20cos 80sin )2(55sin 175sin 55cos 175cos )1(
六、 小结
1.两角差的余弦公式的推导（注意向量法的应用）。
2.两角和与差的正弦、余弦公式及其特点：
3.利用两角和与差的正弦、余弦公式的正用和逆用，解决简单的求值和证明问题。
七、 作业
P121 A 组 第2题（1）（3）（4） 第3题
八、 板书设计。