一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为
__________. 答案：
解： 即 所以
9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X
P ，则==)3(X P ______.
答案： 解答：
由)2(4)1(==≤X P X P 知λλλ
λλ---=+e e e 22
即0122
=--λλ
解得1=λ，故
3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2
X Y =在区间)4,0(内的概率密度为
=)(y f Y _________.
答案：
解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U
，所以(0X F =
，即()Y X F y F =
故
另解在(0,2)上函数2
y x =
严格单调，反函数为()h y =所以
4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X
P ，则=λ_________，
}1),{min(≤Y X P =_________.
答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=-
解答：
2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故2λ=
41e -=-.
5． 设总体X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,
0,10,)1()(x x x f θ
θ1->θ.
n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.
答案： 解答： 似然函数为
解似然方程得θ的极大似然估计为
1
111ln n
i i x n θ==
-∑.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A
C 与B 也独立.
（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.
（D ）若C B ⊂，则
A 与C 也独立.（）
答案：（D ）.
解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.
事实上由图可见A 与
2．设随机变量~X ()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ.（（C ）2(2)-Φ.（D 答案：（A ）
解答：~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤
1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ应选（A ）.
3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是 （A ）X 与Y 独立.（B ）()D X Y DX DY -=+.
（C ）()D X Y DX DY -=-.（D ）()D XY DXDY =.（）
解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=）
，（ρ 应选（B ）.
4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为 若,X Y 独立，则,αβ的值为
（A ）21,99α
β==.（A ）12
,99αβ==. （C ）11,66αβ==（D ）51
,1818
αβ==.（）
解答：若,X Y 独立则有
,n X 为来自X 的样本，则下列结论中
11μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量.（D ）1X 不是μ的估计量.（） 答案：（A ） 解答：
1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为，一个次品
被误认为是合格品的概率为，
求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’
B =‘任取一产品确是合格品’
则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+
（2）()0.90.95
(|)0.9977()0.857
P AB P B A P A ⨯=
==. 四、（12分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X 为途中遇到红灯的次数， 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解：X 的概率分布为
即
1232754368125125125125
X
P
X 的分布函数为
2318
35525
DX =⨯⨯=.
五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上服从均匀分布.
求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.
（2）利用公式
()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞
=-⎰
其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.
0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩
其它.
当0z <或1z >时()0
f z =
0022z
x z =
故Z 或利用分布函数法
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标
X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布.求（1）命中环形区域22
{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到
目标中心距离Z
=的数学期望.
)dxdy
12
e -
-；
228
18x y e dxdy π
+-
2
8
r dr -+∞-∞
=七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2
~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得
样本均值10x
=，样本方差20.16s =.（1）求μ的置信度为的置信区间；（2）检验假设
20:0.1H σ≤（显着性水平为）.
（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t === 解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为
所以μ的置信度为的置信区间为（，） （2）2
0:0.1H σ≤的拒绝域为2
2(1)n αχχ≥
-.
22
1515 1.6240.1S χ==⨯=，2
0.05
(15)24.996χ= 因为22
0.052424.996(15)χχ=<=，所以接受0H .
《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）
专业、班级：姓名：学号：
一、单项选择题(每题3分共18分)
《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：
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