高考五大高频考点例析[对应学生用书P52]排列与组合考查方式高考对排列、组合的考查主要以填空题的形式出现，且以能力立意为主，试题一般难度不大．从近几年的数学高考试题来看，排列组合题是每年必考的内容之一，常以现实生活、经济问题等为背景，以分类和分步计数原理为基础，考查学生对排列组合意义和公式的掌握与运用程度，常与概率、分布列的有关知识结合在一起考查．备考指要解排列、组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”就是找出题目的条件、结论．哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．同时要遵循四大原则：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则、正难则反的原则.[考题印证][例1](辽宁高考改编)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________．[解析]剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.[答案]24[例2](全国大纲卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)[解析]法一：(间接法)A66－A22A55＝480.法二：(直接法)A44A25＝480.[答案]480[跟踪演练]1．(浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C23C11A24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．答案：602．(重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．解析：直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C33·C14·C15＋C34·C13·C15＋C35·C13·C14＋C24·C25·C13＋C23·C25·C14＋C23·C24·C15＝590.答案：5903．在某次中外海上联合搜救演习中，参加演习的中方有4艘船、3架飞机；外方有5艘船、2架飞机，若从中、外两组中各选出2个单位(1架飞机或1艘船都可作为一个单位，所有的船只两两不同，所有的飞机两两不同)，则选出的4个单位中恰有一架飞机的不同选法共有________种．解析：若从中方选出一架飞机，则选法种数为C14C13C25＝120；若从外方选出一架飞机，则选法种数为C15C12C24＝60.故不同选法共有120＋60＝180种．答案：180二项式定理及应用考查方式利用通项公式求展开式中的某项的系数、某特定项、项的系数最值问题及两个二项式的和或积的展开式中某项的系数等，以基础知识为主，以填空题的形式出现，难度不大．备考指要1.解决二项式定理问题，特别是涉及求二项展开式的通项的问题，关键是抓住通项公式，还要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”．2.对于二项式所有项的系数和，可采用赋值法求解.[考题印证][例3] (浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.[解析] T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10. [答案] －10[例4] (全国大纲卷)⎝⎛⎭⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答)[解析] ⎝⎛⎭⎫x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎫－y x r ＝(－1)r C r 8x 8－32ry 32r －4，则⎩⎨⎧8－32r ＝2，32r －4＝2，解得r ＝4，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70. [答案] 70[跟踪演练]4．(四川高考)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答) 解析：根据二项展开式的性质可得x 2y 3的系数为C 35＝10. 答案：105．(新课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12. 答案：12离散型随机变量的分布列考查方式离散型随机变量的概率分布是求随机变量的数学期望和方差的基础，而求分布列需要综合应用排列、组合和概率的相关知识，是高考考查的重点内容之一．在近几年高考中主要以大题形式综合考查，难度以低、中档为主．备考指要求离散型随机变量的数学期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算．不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键．求离散型随机变量的分布列有三个步骤： (1)明确随机变量X 取哪些值；(2)计算随机变量X 取每一个值时的概率；(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识.[考题印证][例5] (重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)[解] (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742， P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384，P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为X 1 2 3 P17424384112从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.[跟踪演练]6．(浙江高考)随机变量X 的取值为0,1,2.若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则V (X )＝________.解析：由题意设P (X ＝1)＝p ，X 的分布列如下X 0 1 2 P15p45－p 由E (X )＝1，可得p ＝35，所以V (X )＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：257．现有A ，B 两球队进行友谊比赛，设A 队在每局比赛中获胜的概率都是23.(1)若比赛6局，求A 队至多获胜4局的概率；(2)若采用“五局三胜”制，求比赛局数X 的分布列和数学期望．解：(1)记“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A ，则P (A )＝1－⎣⎡⎦⎤C 56⎝⎛⎭⎫235⎝⎛⎭⎫1－23＋C 66⎝⎛⎭⎫236 ＝1－256729＝473729.故A 队至多获胜4局的概率为473729.(2)由题意可知，X 的可能取值为3,4,5. P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫133＝927＝13，P (X ＝4)＝C 23⎝⎛⎭⎫232×13×23＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝1027， P (X ＝5)＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132＝827. ∴X 的分布列为：X 3 4 5 P131027827∴E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.8．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]频数 82042228B 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 频数 412423210(1)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t <94，2，94≤t <102，4，t ≥102.从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X 的概率分布及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)解：(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42，因此P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42. 即X 的概率分布为X －2 2 4 P0.040.540.42X 的数学期望E (X )＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.超几何分布考查方式 超几何分布属于离散型随机变量的分布列，是高考的重点和热点．主要考查分布列及均值的求法，以解答题为主，难度中等．备考指要熟练掌握超几何分布的概率公式P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，弄清N ，M ，n ，k 等的数值及含义，代入公式求出随机变量对应的概率.[考题印证][例6] (江苏高考)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．[解] (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363；于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：X 2 3 4 P111413631126因此随机变量X 的数学期望 E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.[跟踪演练] 9．一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个．现从中随机摸出3个球． (1)求至少摸到一个红球的概率；(2)求摸到黑球的个数X 的概率分布、数学期望． 解：(1)至少摸到1个红球的概率为1－C 33C 38＝1－156＝5556.(2)由题意知X 服从参数N ＝8，M ＝3，n ＝3的超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝k )＝C k 3C 3－k5C 38(k ＝0,1,2,3)， 所以P (X ＝0)＝C 03C 35C 38＝528；P (X ＝1)＝C 13C 25C 38＝1528；P (X ＝2)＝C 23C 15C 38＝1556；P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.所以X 的概率分布为X 0 1 2 3 P52815281556156所以E (X )＝0×528＋1×1528＋2×1556＋3×156＝98.二项分布考查方式二项分布属于离散型随机变量的分布列，是高考的重点和热点．主要以条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验和二项分布为载体，综合考查某一事件发生的概率，进而通过计算数学期望与方差考查总体取值的平均水平和稳定性．备考指要1.熟练掌握二项分布P (X ＝k )＝C k n P k (1－P )n －k ，弄清n ，k ，P 的数值及含义． 2.要明确二项分布满足的条件：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数.[考题印证][例7] (福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解] 法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝⎛⎭⎫2，23，X 2～B ⎝⎛⎭⎫2，25， 所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的件， 因为P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－25＝15， P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫1－25＝25， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－23×25＝215， 所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：X 1 0 2 4 P194949X 2 0 3 6 P9251225425所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．[跟踪演练]10．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：∵1 000粒种子每粒不发芽的概率为0.1， ∴不发芽的种子数ξ～B (1 000,0.1)，∴1 000粒种子中不发芽的种子数为1 000×0.1＝100(粒)， 又每粒不发芽需补种2粒，∴需补种的种子数E (X )＝2×100＝200(粒)． 答案：20011．甲、乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为X ，乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为Y .(1)分别求X 与Y 的均值；(2)规定：若X ＞Y ，则甲获胜；若X <Y ，则乙获胜．分别求出甲和乙获胜的概率． 解：(1)依题意：X ～B ⎝⎛⎭⎫3，12，X ～B ⎝⎛⎭⎫2，12. 所以E (X )＝3×12＝32，E (Y )＝2×12＝1.(2)P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫123＝18， P (X ＝1)＝C 13×12×⎝⎛⎭⎫122＝38. P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×12＝38，P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123＝18. P (Y ＝0)＝C 02×⎝⎛⎭⎫122＝14， P (Y ＝1)＝C 12×12×12＝12， P (Y ＝2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫122＝14. 甲获胜的情况有：X ＝1，Y ＝0；X ＝2，Y ＝0,1；X ＝3，Y ＝0,1,2. 所以甲获胜的概率为P 1＝38×14＋38×⎝⎛⎭⎫14＋12＋18×⎝⎛⎭⎫14＋12＋14＝12. 乙获胜的情况有：Y ＝1，X ＝0；Y ＝2，X ＝0,1. 所以乙获胜的概率为： P 2＝12×18＋14×⎝⎛⎭⎫18＋38＝316.模块综合检测⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(四) 见8开试卷(时间120分钟 总分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把正确答案填在题中横线上) 1．由数字0,1,4,5,7组成的没有重复数字的三位奇数的个数为________ 解析：第一步排个位有C 13种排法； 第二步排首位有C 13种排法； 第三步排中间位置有C 13种排法， 共有排法C 13·C 13·C 13＝27种， 所以有不同的三位奇数27个． 答案：272．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实验6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．解析：第一步，A 程序有C 12种不同安排方法，第二步，将B 和C 看成一个程序与其他3个程序有A 44种不同安排方法，第三步，安排B 和C 的顺序，有A 22种不同的方法，根据分步计数原理，则不同的安排方法共有C 12A 44A 22＝96种．答案：963．使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．解析：由二项式定理得，T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r ＝C r n 3n －rxn －52r ，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．答案：54．数列a 1，a 2，…，a 7中，恰好有5个a,2个b (a ≠b )，则不相同的数列共有________个．解析：7个位置中选2个位置放入2个b ，其余5个位置放入5个a ，共有C 27＝21个数列．答案：215．一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为________．解析：由题意可得P (X ＝3)＝C 35·C 110C 415＝20273.答案：202736．(天津高考)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－32r ，当6－32r ＝0，即r ＝4时是常数项，所以常数项是C 46(－1)4＝15. 答案：157．掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A ，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B ，则P (B |A )＝________，P (A |B )＝________.解析：事件A 发生的前提下有以下基本事件：(4,6)，(5,5)，(6,4)，此时事件B 发生只有(6,4)一种，因此P (B |A )＝13，事件B 发生的前提下有以下基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)共有15种基本事件，事件A 发生只有(6,4)一种，因此P (A |B )＝115. 答案：13 1158．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程：y ∧＝0.254x ＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x ＋1代x ，得y ∧＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ∧＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2549.一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率是________．解析：P ＝1－[1－P (AB )]·P (C )P (D )·[1－P (EF )] ＝1－⎝⎛⎭⎫1－12×12⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－12×12 ＝5564. 答案：556410．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是________．解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C 13种方法，将其余两个偶数全排列，有A 22种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A 33种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A 22·A 23种方法，故满足题意的偶数个数有C 13·A 22(A 33＋A 22·A 23)＝108(个)．答案：10811．俗语中常说，三个臭皮匠胜过诸葛亮，若三个臭皮匠能解决某问题的概率分别为60%、50%、45%.诸葛亮解决问题的概率为85%.若三个臭皮匠中有一人能解决问题即为解决，则三个臭皮匠解决此问题的概率为________．解析：记A ＝“三个臭皮匠不能解决问题”， P (A )＝(1－60%)(1－50%)(1－45%)＝0.11. ∴三个臭皮匠能解决此问题的概率为 1－P (A )＝1－0.11＝0.89＝89%. 答案：89%12．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是________．解析：分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A ，有A 22种方法；A 与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有A 23种方法；考虑A 与戊机的排法有A 22种方法．可知共有A 22A 23A 22＝24种不同的着舰方法．答案：2413．从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球，用X 表示摸出的黑球个数，则P (X ≥2)的值为________．解析：根据条件，摸出2个黑球的概率为C 23C 13C 36，摸出3个黑球的概率为C 33C 36，故P (X ≥2)＝C 23C 13C 36＋C 33C 36＝12. 答案：1214．(山东高考)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 解析：T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝⎛⎭⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b 3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．答案：2二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知二项式⎝⎛⎭⎫x －2x 10的展开式中， (1)求展开式中含x 4项的系数；(2)如果第3k 项和第k ＋2项的二项式系数相等，试求k 的值．解：(1)设第r ＋1项为T r ＋1＝C r 10x10－r(－2x)r ＝(－2)r C r 10x 10－32r . 令10－32r ＝4，解得r ＝4，所以展开式中含r 4项的系数为(－2)4C 410＝3 360.(2)∵第3k 项的二项式系数为C 3k －110， 第k ＋2项的二项式系数为C k ＋110，∴C 3k －110＝C k ＋110，故3k －1＝k ＋1或3k －1＋k ＋1＝10，解得k ＝1，k ＝2.5(不合题意舍去)．故k ＝1.16．(本小题满分14分)已知男人中有5%患色盲，女人中有 0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．解：设“任选一人是男人”为事件A ，“任选一人是女人”为事件B ，“任选一人是色盲”为事件C .(1)此人患色盲的概率P ＝P (AC )＋P (BC ) ＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B ) ＝100200×5100＋100200×0.25100＝21800. (2)P (A |C )＝P (AC )P (C )＝520021800＝2021.17．(本小题满分16分)在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设x ，y ，z 分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数．(1)求x ，y ，z 依次成公差大于0的等差数列的概率； (2)记X ＝x ＋y ，求随机变量X 的概率分布列和数学期望．解：(1)x ，y ，z 依次成公差大于0的等差数列的概率，即甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0,1,2，此时的概率P ＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫122＝14. (2)X 的到值范围0,1,2,3，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫123＝18；P (X ＝1)＝C 13×16×⎝⎛⎭⎫122＋C 13×13×⎝⎛⎭⎫122＝18＋14＝38； P (X ＝2)＝A 33×16×13×12＋C 23×⎝⎛⎭⎫132×12＋C3×⎝⎛⎭⎫162×16＝38； P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫163＋⎝⎛⎭⎫133＋C 23×⎝⎛⎭⎫162×13＋C 23×16×⎝⎛⎭⎫132＝18. X 0 1 2 3 P18383818数学期望为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32.18．(本小题满分16分)(新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y (单位：千元)的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ＝y －b t解：(1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i－t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ＝y －b t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．19．(本小题满分16分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：主食蔬菜 主食肉类合计 50岁以下 50岁以上 合计(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析． 解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)列联表如下：主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计201030(3)χ2＝30×(4×2－8×16)212×18×20×10＝10>6.635，有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关．20．(本小题满分16分)(全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． (1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C ，P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C ) ＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝0.31. (2)X 的可能取值为0,1,2,3,4. P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C ) ＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )·P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4) ＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，数学期望EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.。