指数及指数函数
1、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．
当n 是奇数时，a 的n
当n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号 0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：
n a =；
当n a =；
当n 为偶数时，
(0)
|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
． （2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂是：0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >.
②正数的负分数指数幂是： 1()0,,,m
m n n a
a m n N a -+==>∈且1)n >． 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义． （3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②r a ÷s a =r s a -()0,,a r s R >∈； ③()r
s a =rs a ()0,,a r s R >∈；
④()r
ab =r r a b ⋅()0,0,a b r R >>∈； 2、指数函数及其性质
定义
函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a > 01a <<
定义域 R
值域 （0,+∞）
过定点 图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况
y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0)
y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0)
a 变化对
图象的影 响 在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴；
在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴．
在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴；
在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．
例题讲解 一、指数
1、化简［32
)5(-］4
3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5
D ．－5
2、211
5
113
3
662
2
1()(3)()=3
a b a b a b -÷__________.
二、指数函数
3、已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f 4
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x a y =x
y
(0,1)
O
1
y =
5.
6、若21(5)2x f x -=-，则(125)f = . 三、指数函数的图像问题
7、若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ） A ．01>>b a 且 B ．010<<<b a 且
C ．010><<b a 且
D ．11>>b a 且
8、函数()2()1x
f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、2<a C 、2a < D 、12a <<9、当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是
（ ）
四、定义域与值域问题 10、求下列函数的定义域和值域 （1）x x
y 212+= （2）222)31(-=x y （4）2
221++-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=x x y （5）1
121+-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=x x y
11、下列函数中，值域为()+∞,0的函数是（ ）
x
y A 23.= 12.-=x
y B 12.+=x
y C x
y D -⎪
⎭
⎫
⎝⎛=221.
12、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ）
A 、∅
B 、T
C 、S
D 、有限集 13、若函数()1222
-=--a
ax x
x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 .
14、若函数0322≤--x x ，求函数x x y 4222⋅-=+的最大值和最小值.
五、比较大小问题
15、设.)3
2
(,)32(2.15.1-==b a 那么实数a 、b 与1的大小关系正确的是 ( )
A. 1<<a b
B. 1<<b a
C. a b <<1
D. b a <<1
16、比较大小32
21）（，32
51）（，31
2
1）（
六、定点问题
17、函数)10(33≠>+=-a a a y x 且的图象恒过定点___________. 七、单调性问题
18、函数x
x y 2221-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=的单调增区间为_____________
19、函数)10()(≠>=a a a x f x 且在区间]2,1[上的最大值比最小值大2
a
，则=a ________ 20、函数1
)1(222
)(+--=x a x x f 在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ( )
A. [6,+)∞
B. ),6(+∞
C. ]6,(-∞
D. )6,(-∞
21、设01a <<，解关于x 的不等式2
2
232
223
x x x
x a a -++->.
22、已知函数225
13x x y ++⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，求其单调区间及值域.
八、函数的奇偶性问题
23、函数21
21
x x y -=+是（ ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、既奇又偶函数
D 、非奇非偶函数
24、2()1()(0)21x F x f x x ⎛
⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭
是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( )
A 、是奇函数
B 、可能是奇函数，也可能是偶函数
C 、是偶函数
D 、不是奇函数，也不是偶函数 25、若函数1
41
)(++
=x
a x f 是奇函数，则=a _________ 26、如果函数)(x f 在区间[]
a a 24,2--上是偶函数，则a =_________。