f 2 (t )
K
0
二、单位阶跃信号（Unit） 1、基本形式

t
u (t )
1
0 1 u (t ) ?
t0 t 0 t 0
0
t
0 1 u (t t0 ) ?
t t0 t t0 t t0
u (t )
1
0
t0
t
注意：跳变点t = 0， t = t0处，函数值未定义。



(t ) f (t )dt f (0) (t )dt f (0)



(t t0 ) f (t )dt


f (t ) (t t0 )dt f (t 0 )
3)偶函数:
(t ) (t )
4）冲激函数的积分等于阶跃函数
， f 2 (t ) sin( 8t )
f1 (t ) f 2 (t ) sin( t ) sin( 8t )
波形如图： 在通信系统的 调制、解调等 过程中经常遇 到两信号相乘 运算。
§4
阶跃信号与冲激信号
奇异函数（奇异信号）：函数本身有不连续点 （跳变点）或其导数与积分有不连续的情况。 1、斜变、 2、阶跃、 3、冲激、 4、冲激偶。 其中阶跃信号、冲激信号是两种最重要的理想 信号模型。
(t t0 )dt 1 t t0 t t0 (t t0 ) 0
0
t0
t
冲激函数的重要性质
1） (t )与任意连续函数f (t )的相乘特性 设f (t )为任意连续函数，则: f (t ). (t ) f (0). (t ) f (t ). (t t0 ) f (t0 ). (t t0 ) 2)筛选性 设f (t )为任意连续函数，则

t

( )d u (t )
反之：阶跃函数的微分等于冲激函数 d u (t ) (t ) dt
广义函数的等值特性
单位冲激函数 (t )属奇异函数，而奇异函数的定义、 运算等严格地讲都建立在广义函数理论的基础上。 设f1 (t ), f 2 (t )为任意广义函数， (t )为任意连续函数 且处处可微任意多次。若
0

t
钟型脉冲： (t ) lim[ e
1
t )2 (
0
]
k 抽样信号： (t ) lim[ Sa (kt )]
0
3、狄拉克定义
(t ) dt 1 (t ) 0 (t 0)
(t )
1
0
t
4、单位冲激平移
(0 t t0 ) (t0 t )
三、相加和相乘
1、相加：若 f1 (t ) sin(t ), f 2 (t ) sin(8t ) 则 f1 (t )+f 2 (t ) sin(t ) sin(8t ) 波形如下图：
2、相乘：若
则
f1 (t ) sin( t )
单位阶跃函数的物理背景：在t = 0，或t = t 0时刻对 某一电路接入单位电源（直流电压源或直流电流源） 并且无限持续下去。 单位斜变函数的导数等于单位阶跃函数。
df (t ) u (t ) dt
2、 通常用阶跃及其延时信号之差表示矩形脉冲： 波形如右图
a : RT (t ) u (t ) u (t T ) T T b : GT (t ) u (t ) u (t ) 2 2
3、 用阶跃函数给信号加窗或表现信号的单边特 性，表示信号的接入特性。 t f (t ) e [u (t ) u (t t0 )] 如： f (t ) sin t.u (t )
4、符号函数（Signum）
定义： sgn(t ) 1 1 跳变点无定义。
(t 0) (t 0)
实例：发射信号经同种介质传送到不同距离的 接受机时，各接受信号相当于发射信号的移位 具有不同的t0值。
2、反褶： f (t ) f (t ) 变换后的波形相当于将原波形以t 0为轴反褶 过来，也称为时间轴反转。波形图如下：
f (t )代表一盘录制的声音磁带，f (t )就代表同样 一盘磁带倒过来放（即从末尾向前倒放）的结果。
一、单位斜变信号
斜变信号也称斜坡信号或斜升信号。指从某 一时刻开始随时间正比例增长的信号。如果 增长的变化率是1，就称为单位斜变信号。 其波形如下图；表达式为： 0 f (t ) t (t 0) (t 0)
0 1 t R(t)
如果将起始点移至t0 , 则应写作 (t t0 ) 0 f (t t0 ) t t0 (t ) dt
例：信号波形如图：
微分使图像的边缘 轮廓突出。
2、 积分：是指
t
f ( ) 在 (, t ) 区间的定积分。
t
其表达式： f ( )d
e 例：f (t ) t ( t t0) e e
波形如图所示： 信号突出部分变 得平坦，可利用 此特性削弱信号 中的毛刺。
0
f (t t0 )
t0
t0+1
t
截平的斜变信号，在时间以后斜变 波形被切平，其表达式为： K t (t ) f1 (t ) K (t )
K
0
f1 (t )

t
三角形脉冲可用斜变信号表示，写作 K t (t ) f 2 (t ) 0 (t )
方法一：
方法二： f t f 3t f 3t f 3t 2
f t
f 3t
1 2 1 O 1
1
t
2O 1 3 3
t
f 3t
f 3t 2
1
1
1 O 2 3 3
t
1
O
t
二、微分和积分
1、 微分：是指
'
f (t ) 对 t 取导数，
§3 信号的运算
在信号传输与处理过程中需要进行信号的运算。
信号的运算包括:
一、移位、反褶、尺度倍乘（压缩与扩展） 二、微分、积分以及两信号的相加或相乘。 要求： 1、 掌握运算过程中表达式对应的波形变化； 2、了解运算的物理背景。
一、移位、反褶与尺度倍乘
1、移位:
f (t ) f (t t0 )
(t )
(t ) lim
u ( t ) u ( t 2 2) 0
1
0
t
0
t
2、由其它函数演变的冲激函数
三角形脉冲：
(t ) lim{ (1 ) u (t ) u (t )]}
1 t
0
双边指数脉冲： (t ) lim[ 21 e ]
3、尺度变换： a 1 : 压缩, 保持信号的时间缩短了 f (t ) f (at ) 0 a 1: 扩展, 保持信号的时间增长了 1 f ( t )：原磁带将放音速度降低一半 f (t ) 2 f (2t )：原磁带以2倍的速度放音的结果
例1-1：已知信号 f (t ) 的波形，画出 f ( 3t 2) 的波形。
用阶跃函数表示： sgn( t ) 2u (t ) 1
三、单位冲激信号（Impulse）
用来描述物理现象中，极短时间内，取值极大 的现象，即持续时间无穷小，瞬间幅度无穷大，涵 盖面积恒为1的一种理想信号，记为 (t ) 。 1、 由矩形脉冲演变为冲激函数：矩形面积不 变， 宽趋于0时的极限。


-
f1 (t ) (t ) dt

-
f 2 (t ) (t ) dt (1) (2)
则：f1 (t ) f 2 (t )
式（ 1 ）、（2）称为广义函数的等值特性。式中 (t ) 通常称为检验（或试验）函数。
四、冲激偶信号
冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现正、负极 性的一对冲激，称为冲激偶信号，以 取极限
d '(t ) (t ) 表示。 dt
0
求 导 取极限
(t )
' (t )
0
脉冲偶对 冲激偶
冲激偶的性质
1)面积:



'(t )dt 0

2） '(t ) f (t )dt f '(0)




'(t t0 ) f (t )dt f '(t0 )