如果 D 0，那么对于三元一次方程组：
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
利用消元法也有相同的结果，x1Fra bibliotekD1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
其中， a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆 序数的概念及性质。
全排列及其逆序数
定义 由1，2，···，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。（简称排列）记为 j1 j2 ···jn.
例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列
第一节 行列式的概念
行列式起源于解方程组
引例
方程组
2x 1
x 2 1
3x2 8 x2 3
系数行列式
23 2 (2) 13 7
1 2
称为二阶行列式。
二阶行列式（determinant）
给定 a、b、c、d 四个复数，称
ab ad bc
cd
为二阶行列式。 为方便记
D a11 a21
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2
a31 a32 b3
三阶行列式
称
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
2 7
考虑线性方程组：
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
通过消元法，有：
((aa1111aa2222
a12a21 ) x1 a12a21 ) x2
b1a22 b2a11
b2a12 b1a21
于是，当 a11a22 a12a21 0, 有唯一解：
x1
b1a22 a11a22
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
例2 证明 证明：
a2 ab b2 2a a b 2b (a b)3 111
左边 a2 (a b) 2ab2 2ab2 b2 (a b) 2a2b 2a2b a3 a2b 2ab2 2ab2 ab2 b3 2a2b 2a2b a3 3a2b 3ab2 b3 （a b）3 右边
b2a12 a12a21
,
x2
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
写成行列式形式有：
b1
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
b2 a11
a21
a12
a22 D1
a12
D
a22
a11
x2
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
a21 a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行标，第二个下标 j 为列 标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
a12
a11a22 a12a21.
副对角线
a21
a22
例如
13 1 7 (2)3 13
2 三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
为三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
a11 a12 a13 a21 a22 a23
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
a31 a32 a33
1 2 -4 例1 计算三阶行列式 D - 2 2 1
线性代数第一章阶行列式哈工 大版演示文稿
（优选）线性代数第一章阶行 列式哈工大版
第一章 n阶行列式
第一节 行列式的概念 第二节 行列式的性质 第三节 行列式按行(列)展开 第四节 克莱姆法则
本章的基本要求与重难点
❖ 深刻理解n阶行列式的定义。 ❖ 熟记行列式的性质。 ❖ 熟练掌握行列式的计算。 ❖ 重点：行列式的计算。 ❖ 难点：n阶行列式的计算。
在三阶行列式，共有 3! 6项；
每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
i i 大的数排在jt j一s 个较小的数前面，即， ts 则称这两个数组成此排列的一个逆序。 例如 排列 32514 中 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列 j1 j2 ···jn 中所有逆序的总数称为此排
3级全排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，132，213，321 n级全排列的种数为
n(n 1)321 n!
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的
自然数，规定由小到大为自然排序（标准次序）。
如：123…n 是自然排序
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若某个较
b1
b2 D2
a12
D
a22
说明
1. 行列式是一个数； 2. 计算规则：对角线法则； 3. 每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的
正负号不同；共有 2! 2
4. 一行一列称为1阶行列式， 记为 a a
5. 二行二列称为2阶行列式 三行三列称为3阶行列式 ………………… n行n列称为n阶行列式