小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式1．已知集合M ＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．[－4，2) B ．(1，4] C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >12＋4x ，x ≤1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．4B ．－2C ．2D ．13．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[1，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，1]∪[5，＋∞)5．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．46．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，2]8．函数f (x )＝(x ＋1)ln(|x －1|)的大致图象是( )9．若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，54 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－5411．若2a ＝3b ＝6，则4－a＝________；1a ＋1b＝________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，log 2（x ＋1），x ＞0，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值为________．13．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为________，最大值为________．14．已知p ：0<x <2，q ：x <a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 15．设函数f (x )＝|x 2＋a |＋|x ＋b |(a ，b ∈R )，当x ∈[－2，2]时，记f (x )的最大值为M (a ，b )，则M (a ，b )的最小值为________．16．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )在区间(0，1)内有两个零点，则3a ＋b 的取值范围是____________．17.已知函数f ′(x )和g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，它们在同一坐标系中的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)小题专题练(一)1．解析：选B.集合N ＝{x |x 2－2x －8≤0}＝{x |－2≤x ≤4}， 集合M ＝{x |x ＞1}， 所以M ∩N ＝{x |1＜x ≤4}． 故选B.2．解析：选B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋412＝2＋2＝4，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (4)＝log 124＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－2.3．解析：选C.法一：当a ＞b ≥0时，a ＞b ⇔a 2＞b 2⇔a |a |＞b |b |，当a ，b 一正一负时，a ＞b ⇔a ＞0＞b ⇔a |a |＞0＞b |b |，当0≥a ＞b 时，0≥a ＞b ⇔a 2＜b 2⇔－a |a |＜－b |b |⇔a |a |＞b |b |，所以a ＞b ⇔a |a |＞b |b |，故选C.法二：构造函数f (x )＝x |x |，易知为奇函数且为增函数，所以当a ＞b 时，f (a )＝a |a |＞b |b |＝f (b )，所以选C.4．解析：选C.因为不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空等价于|x ＋3|＋|x －2|的最小值小于或等于a ，由于不等式|x ＋3|＋|x －2|≥5在x ∈R 上恒成立，所以a ≥5.选C.5．解析：选A.法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.6．解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.7．解析：选B.由f (x )在(－∞，1]上单调递减得t ≥1，由对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，得f (x )max －f (x )min ≤2，即f (0)－f (t )≤2，t 2≤2，因此1≤t ≤2， 选B.8．解析：选C.根据函数表达式，当x >2时，函数值大于0，可排除A 选项，当x <－1时，函数值小于0，故可排除B 和D 选项，进而得到C 正确．故答案为C. 9．解析：选C.因为f (x )为偶函数，所以当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]， 所以f (－x )＝x 2，即f (x )＝x 2. 又f (x －1)＝f (x ＋1)， 所以f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是以2为周期的周期函数，据此在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的图象，如图所示，数形结合可得两图象有3个交点，故方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上有三个根．故选C.10．解析：选A.因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －34x 2＝－（x －1）（x －3）4x 2， 易知，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以g (x )在区间[1，2]上的最小值在端点处取得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立， 只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且12≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54.11．解析：由题可得a ＝log 26，b ＝log 36，所以4－a＝4－log 26＝122log 26＝12log 262＝162＝136， 1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1. 答案：136112．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0log 2（x ＋1），x ＞0，则f (f (－3))＝f (9－6)＝f (3)＝log 24＝2，当x ≤0时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝－1， 所以函数的最小值为f (－1)＝1－2＝－1； 当x ＞0时，函数是增函数，x ＝0时f (0)＝0，所以x ＞0时，f (x )＞0，综上函数的最小值为－1，故答案为2，－1. 答案：2 －1 13.解析：画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，最大值为2－（－1）0－（－1）＝3，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43，最大值为4.答案：43414．解析：据充分不必要条件的概念，可知只需A ＝{x |0<x <2}是集合B ＝{x |x <a }的真子集即可，结合数轴可知只需a ≥2即可．答案：[2，＋∞)15．解析：去绝对值，f (x )＝±(x 2＋a )±(x ＋b )，利用二次函数的性质可得，f (x )在[－2，2]的最大值为f (－2)，f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12中之一，所以可得M (a ，b )≥f (－2)＝|4＋a |＋|－2＋b |，M (a ，b )≥f (2)＝|4＋a |＋|2＋b |， M (a ，b )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋b ，M (a ，b )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋b ， 上面四个式子相加可得4M (a ，b )≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫|4＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－b |＋|b ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－b≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋12 ＝252，即有M (a ，b )≥258， 可得M (a ，b )的最小值为258，故答案为258.答案：25816．(－5，0)17．解析：由题意知f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，则可设f (x )＝12x 2＋a ，g (x )＝13x 3＋b ，其中a ，b ∈R .(1)因为f (1)＝1，所以12×12＋a ＝1，所以a ＝12，所以f (－1)＝12×(－1)2＋12＝1.(2)因为h (x )＝f (x )－g (x )，所以h (x )＝12x 2＋a －13x 3－b ，所以h (－1)＝56＋(a －b )，h (0)＝a －b ，h (1)＝16＋(a －b )，故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)。